Вариант 7 · Июль 2026

Решение:
1) Сначала вычислим общую стоимость отправленных сообщений. Так как одно сообщение стоит $1{,}2$ рубля, то за 7 штук Соня заплатит: $7 \cdot 1{,}2 = 8{,}4$ рубля.
2) Чтобы узнать остаток средств на счету, вычтем потраченную сумму из первоначальной: $42 - 8{,}4 = 33{,}6$ рубля.

Ответ: 33,6

Источник: ФИПИ

Решение:
А - 1, Б - 2, В - 4, Г - 3.

Ответ: 1243

Источник: ФИПИ

Разбор задания:

Чтобы определить количество дней, когда влажность воздуха превышала заданный уровень, проведём на графике горизонтальную черту, соответствующую значению $60\%$. Теперь подсчитаем число отмеченных точек, расположенных строго выше этой границы. Внимательный подсчёт показывает, что таких точек ровно $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение:
$P = \frac{U^{2}}{R}$
$PR = U^{2}$
$R = \frac{U^{2}}{P}$
$R = \frac{8^{2}}{4} = \frac{64}{4} = 16 .$

Ответ: 16

Источник: ФИПИ

Решение:
$Р_{из России} = \frac{7}{7 + 7 + 6} = \frac{7}{20} = 0{,}35 .$

Ответ: 0,35

Источник: ФИПИ

Решение:
Проанализировав таблицу, заметим, что такой инструмент, как тяпка, представлен исключительно в вариантах под номерами 1 и 2. Следовательно, покупка хотя бы одного из этих наборов является обязательным условием для формирования полного комплекта.
Рассмотрим первый вариант: покупаем набор №1 (в него входят тяпка и вилы). В этом случае нам не хватает граблей и лопаты. Чтобы минимизировать затраты, выберем для их покупки наборы №3 (лопата) и №6 (грабли). Итоговые расходы составят:
$900 + 380 + 280 = 1560$ рублей.
Рассмотрим второй вариант: берем набор №2 (включает тяпку и грабли). Теперь нам требуется докупить вилы и лопату. Наиболее экономным решением будет приобретение набора №4, где есть оба этих инструмента. Суммарная стоимость в данном случае будет равна:
$840 + 640 = 1480$ рублей.
Сравнивая результаты, получаем, что самая низкая цена — 1480 рублей — достигается при выборе комбинации наборов 2 и 4.

Ответ: 24 / 42

Источник: ФИПИ

Разбор задания:

Проанализируем поведение графиков функций на заданном интервале $[-1; 1]$ и сопоставим их с описанными характеристиками:

А) График функции полностью расположен ниже оси абсцисс, то есть значения функции отрицательны для всех $x$ из отрезка $[-1; 1]$. Этому описанию соответствует график 1.
Б) На рассматриваемом промежутке $[-1; 1]$ график функции идет «вниз», что свидетельствует о её убывании. Данному свойству отвечает график 3.
В) Функция принимает исключительно положительные значения на всём интервале $[-1; 1]$, так как её график находится выше оси $Ox$. Это характерно для графика 4.
Г) На отрезке $[-1; 1]$ наблюдается рост функции (график стремится вверх). Это соответствует рисунку 2.

Сопоставив все данные, получаем искомую последовательность цифр.

Ответ: 1342

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Проанализируем исходные данные о группе из 50 студентов:
— Изучают английский язык: 40 человек;
— Изучают немецкий язык: 20 человек.

Оценим предложенные утверждения на основе этих цифр:
1) Верно. Так как суммарное количество «выборов» языков равно $40 + 20 = 60$, а студентов всего 50, то как минимум $60 - 50 = 10$ человек обязательно изучают оба языка одновременно.
2) Неверно. Максимальное число студентов, изучающих оба языка, не может превышать количество человек в меньшей группе (тех, кто учит немецкий), то есть не более 20 человек. Утверждение о 25 студентах ошибочно.
3) Неверно. Если все 20 человек, знающих немецкий, также учат английский, то останется еще $40 - 20 = 20$ человек, которые учат только английский. Таким образом, утверждение о том, что английский знают не более 15 человек, ложно.
4) Верно. Поскольку английский язык знают 40 человек из 50, то тех, кто его не знает, всего $50 - 40 = 10$. Следовательно, среди любых 11 студентов хотя бы один обязательно будет владеть английским языком.

Выпишем номера истинных высказываний без пробелов и запятых.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение:
Для вычисления площади данной трапеции воспользуемся стандартной формулой: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины её оснований, а $h$ — высота фигуры.
Определим значения этих величин по рисунку:
— верхнее (меньшее) основание $a = 1$;
— нижнее (большее) основание $b = 4$;
— высота трапеции $h = 3$.
Подставим эти числа в выражение для площади:
$$S = \frac{1 + 4}{2} \cdot 3 = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5.$$

Ответ: 7,5

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Чтобы найти искомое расстояние между двумя городами, необходимо умножить масштаб карты на соответствующее значение: $17{,}5 \cdot 4 = 70$ км.

Ответ: 70

Источник: ФИПИ

Решение:
Плоскость является треугольником и разбивает тетраэдр на два многогранника: у одного 6 вершин (усечённая пирамида), у другого 4 (пирамида).

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Ход решения:

1) Сначала найдём величину центрального угла $AOC$. Так как углы $AOC$ и $COB$ являются смежными, их сумма составляет $180^{\circ}$. Следовательно: $$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle COB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$ 2) Рассмотрим треугольник $ACO$. В нём стороны $AO$ и $CO$ равны, поскольку являются радиусами одной окружности. Значит, $\triangle ACO$ — равнобедренный, и углы при его основании $AC$ равны: $$\angle CAO = \angle ACO = \frac{180^{\circ} - \angle AOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$$ 3) Так как все внутренние углы треугольника $ACO$ оказались равны $60^{\circ}$, данный треугольник является равносторонним. Отсюда следует, что все его стороны равны радиусу: $AO = CO = AC = 36$.
4) Диаметр окружности $AB$ в два раза больше её радиуса $AO$: $$d = AB = 2 \cdot 36 = 72$$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
В условии указано, что пирамида является правильной треугольной. Это означает, что в её основании лежит равносторонний треугольник, а все боковые грани представляют собой равные между собой равнобедренные треугольники.
Для нахождения площади одной такой грани проведём в ней высоту (апофему):

Рассмотрим боковую грань. Высота делит основание грани (сторону $30$) пополам. Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы вычислить длину этой высоты $h$:

$$h = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$$

Теперь определим площадь одного бокового треугольника по стандартной формуле:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300$

Поскольку у данной пирамиды три идентичные боковые грани, общая площадь боковой поверхности вычисляется так:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 300 = 900$

Ответ: 900

Источник: ФИПИ

Решение:
Для удобства вычислений представим обыкновенные дроби в виде десятичных: 
$\frac{5}{2} = 2,5$ и $\frac{3}{5} = 0,6.$
Подставим полученные значения в выражение и выполним действия:
$2,5 - ( - 2,5 ) - 0,6 = 2,5 + 2,5 - 0,6 = 5,0 - 0,6 = 4,4.$

Ответ: 4,4

Источник: ФИПИ

Решение:
Поскольку стоимость футболки снизилась на $15\%$, её новая цена в процентном соотношении составляет $100\% - 15\% = 85\%$ от исходной. По условию задачи эти $85\%$ равны $765$ рублям.

Обозначим первоначальную стоимость товара через $x$. Тогда $x$ соответствует $100\%$.
Составим пропорцию на основе имеющихся данных:
$$\frac{x}{765} = \frac{100}{85}$$

Выразим $x$ из полученного уравнения:
$x = \frac{765 \cdot 100}{85}$
Разделив $765$ на $85$, получаем $9$:
$x = 9 \cdot 100$
$x = 900$.

Таким образом, до распродажи футболка стоила $900$ рублей.

Ответ: 900

Источник: ФИПИ

Решение:
$\frac{63}{\left(( 3 \sqrt{7} )\right)^{2}} = \frac{63}{3^{2} \cdot \left(( \sqrt{7} )\right)^{2}} = \frac{63}{9 \cdot 7}$$= \frac{63}{63} = 1 .$

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Для начала приведем обе части уравнения к общему основанию $3$:
$3^{2x - 16} = \frac{1}{81}$
Заметим, что число $81$ — это $3^4$, следовательно, дробь можно представить как степень с отрицательным показателем:
$3^{2x - 16} = 3^{-4}$
Так как основания степеней в левой и правой частях равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x - 16 = -4$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем число $16$ в правую сторону с противоположным знаком:
$2x = 16 - 4$
$2x = 12$
Разделив обе части на $2$, находим корень уравнения:
$x = 6$

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Для начала оценим значение переменной $m = \log_{5} 3$. Так как основание логарифма $5 > 1$, а аргумент $3$ находится в промежутке между $1$ и $5$, то значение логарифма положительно, но не превышает единицу: $0 < \log_{5} 3 < 1$. Исходя из этого, проанализируем предложенные выражения:

1) Для выражения $\sqrt{m + 3}$: так как $m$ чуть больше нуля, подкоренное выражение чуть больше $3$. Корень из числа в интервале $(3; 4)$ даст результат от $1,7$ до $2$. Это соответствует точке $C$.
2) Для выражения $\frac{3}{m}$: при делении числа $3$ на дробь, которая меньше единицы, мы получим результат больше $3$. Это соответствует точке $D$.
3) Для выражения $m - 3$: из числа, меньшего единицы, вычитается $3$, что дает отрицательный результат (примерно $-2,3$). Это соответствует точке $A$.
4) Для выражения $m^{2}$: при возведении положительного числа, меньшего единицы, в квадрат, результат остается в интервале от $0$ до $1$. Это соответствует точке $B$.

Сопоставив результаты с точками на координатной прямой, получаем последовательность цифр.

Ответ: 3412

Источник: ФИПИ

Решение:

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $A = \overline{abc}$, где $a, b, c$ — его цифры. Исходя из условий задачи, число должно обладать следующими свойствами:

1) Сумма его цифр $(a + b + c)$ делится на $8$.
2) Сумма цифр числа, следующего за ним ($A + 1$), также кратна $8$.
3) Сумма первой и последней цифр $(a + c)$ делится нацело на среднюю цифру $b$.

Проверим число $349$ методом подбора:

1) Сложим цифры: $3 + 4 + 9 = 16$. Число $16$ делится на $8$ ($16 : 8 = 2$). Условие выполнено.
2) Найдем следующее число: $349 + 1 = 350$. Сумма его цифр равна $3 + 5 + 0 = 8$. Число $8$ кратно $8$. Условие выполнено.
3) Проверим кратность суммы крайних цифр средней: $3 + 9 = 12$. Число $12$ делится на $4$ без остатка ($12 : 4 = 3$). Условие выполнено.

Аналогичным образом условиям удовлетворяют числа 529, 789 и 969.

Ответ: 349 / 529 / 789 / 969

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Для начала выпишем известные данные:
Скорость Оли: $v_1 = 70$ м/мин;
Скорость Коли: $v_2 = 110$ м/мин;
Время, через которое Коля начал движение: $t_0 = 8$ мин.
Нам необходимо вычислить время, за которое Коля догонит Олю.

1) Определим скорость сближения ребят. Так как они движутся в одном направлении, вычтем из большей скорости меньшую:
$110 - 70 = 40$ (м/мин).

2) Узнаем, какое расстояние успела пройти Оля до того, как Коля вышел из дома (начальное расстояние между ними):
$70 \cdot 8 = 560$ (метров).

3) Чтобы найти время догона, разделим расстояние между ними на скорость сближения:
$\frac{560}{40} = 14$ (минут).

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим исходные множители как $a$ и $b$. Тогда их начальное произведение составляет $ab$. Согласно условию, если прибавить к каждому числу по 2, результат умножения станет больше на 16. Запишем это в виде уравнения:
$$(a + 2)(b + 2) = ab + 16$$ Раскроем скобки в левой части выражения:
$ab + 2a + 2b + 4 = ab + 16$
Вычтем $ab$ из обеих частей и упростим уравнение:
$2a + 2b = 12$
Разделив всё на 2, получим сумму исходных чисел:
$a + b = 6$.
(Примечание: в исходных выкладках была допущена арифметическая неточность, пересчитаем корректно для получения верного ответа).
Выясним, как изменится произведение, если каждый из множителей уменьшить на 2. Для этого найдем разность между новым и старым произведением:
$(a - 2)(b - 2) - ab = ab - 2a - 2b + 4 - ab = 4 - 2(a + b)$.
Подставим ранее найденное значение суммы $a + b = 6$ в полученное выражение:
$4 - 2 \cdot 6 = 4 - 12 = -8$.
Отрицательный результат означает, что произведение уменьшилось. Величина этого уменьшения составляет 8.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ