Вариант 8 · Июль 2026

Решение:
Для начала определим общую сумму, которую Маша отдала за покупку. Если из 500 рублей ей вернули 70 рублей сдачи, значит, стоимость всех сладостей составила: $$500 - 70 = 430 \text{ рублей.}$$ По условию задачи на эти деньги было куплено 5 молочных ломтиков. Чтобы найти стоимость одного такого ломтика, разделим общую затраченную сумму на их количество: $$\frac{430}{5} = 86 \text{ рублей.}$$

Ответ: 86

Источник: ФИПИ

Решение:

Для удобства сравнения приведём все указанные величины к единой системе измерения (квадратным метрам):
1) $2561 \text{ км}^2 = 2\,561\,000\,000 \text{ м}^2$
2) $24\,750 \text{ м}^2$
3) $100 \text{ мм}^2 = 0,0001 \text{ м}^2$
4) $0,2 \text{ м}^2$

Сопоставим объекты и значения, двигаясь от самых масштабных к самым мелким:
А) Красная площадь — это крупный городской объект, её площадь значительна, но меньше площади целого мегаполиса. Ей соответствует значение под номером 2: $24\,750 \text{ м}^2$. Таким образом, А — 2.
Б) Территория Москвы является самым обширным объектом в списке. Ей подходит максимальное значение под номером 1: $2561 \text{ км}^2$. Таким образом, Б — 1.
В) Площадь ногтя — самая миниатюрная величина из представленных. Выбираем наименьшее число под номером 3: $100 \text{ мм}^2$. Таким образом, В — 3.
Г) Поверхность тумбочки по размеру превосходит ноготь, но существенно меньше площади городской площади. Ей соответствует вариант под номером 4: $0,2 \text{ м}^2$. Таким образом, Г — 4.

Запишем полученную последовательность цифр.

Ответ: 2134

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Под первым полугодием подразумевается временной интервал с января по июнь (первые 6 месяцев года). Анализируя представленную диаграмму, мы видим, что максимальное значение среднего курса юаня по отношению к рублю в этот период было зафиксировано во втором месяце (феврале).

_⟧

Источник: ФИПИ

Решение:
$W = \frac{q^{2}}{2 C}$
$W \cdot 2 C = q^{2}$
$C = \frac{q^{2}}{2 W}$
$C = \frac{6}{2 \cdot 4{,}5} = \frac{36}{9} = 4 .$

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение:
Белые - $x$;
Черные - $1{,}5 x$;
$P_{черн .} = \frac{1{,}5 x}{x + 1{,}5 x} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = \frac{3}{5} = 0{,}6 .$

Ответ: 0,6

Источник: ФИПИ

Решение:
№3 - $42 б > 40 б , 55 б > 40 б ,$ $62 б > 50 б , 52 б > 50 б ;$
№5 - $42 б > 27 б , 55 б > 51 б ,$ $62 б > 36 б , 52 б > 36 б .$

Ответ: 35 / 53

Источник: ФИПИ

Решение:
А - 3, Б - 4, В - 1, Г - 2.

Ответ: 3412

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала упорядочим кошек по их возрасту на основе условий задачи (от самой старшей к самой младшей): Дымка $>$ Соня $>$ Муся.
Проанализируем каждое утверждение:
1) Неверно. Существует вероятность, что кошка окажется по возрасту между Соней и Мусей (то есть будет младше Сони, но при этом старше Муси).
2) Верно. Исходя из нашей последовательности, Муся является самой молодой среди всех кошек.
3) Верно. Поскольку Соня старше Муси, любая кошка, чей возраст больше, чем у Сони, автоматически будет старше и Муси.
4) Неверно. Это противоречит установленному распределению возрастов.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ

Решение:

Для начала определим площадь одной клетки на плане. Так как сторона клетки соответствует 50 метрам, её площадь составит $50 \times 50 = 2500$ м².

_placeholder_if_any_was_here_but_not_provided_in_source_so_following_logic⟧

Проанализируем границы Верхнего Троекуровского пруда. Он располагается в пределах 4 клеток, но не заполняет их целиком. Оценим занимаемую им долю: одна клетка заполнена примерно наполовину, а три остальные — примерно на четверть каждая. Таким образом, общая площадь пруда (вместе с островом) ориентировочно равна:
$$\frac{1}{2} \cdot 2500 + 3 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot 2500\right) = 1250 + 1875 = 3125 \text{ м}^2.$$

Теперь оценим площадь острова. Он находится внутри двух клеток, занимая в совокупности около четверти площади одной клетки:
$$\frac{1}{4} \cdot 2500 = 625 \text{ м}^2.$$

Чтобы найти искомую площадь водной поверхности, вычтем площадь острова из общей площади пруда:
$$3125 - 625 = 2500 \text{ м}^2.$$

Учитывая погрешность при визуальной оценке долей клеток, верным признаётся любой результат в диапазоне от 2000 до 3000 м² с шагом 100.

Ответ: 2000 / 2100 / 2200 / 2300 / 2400 / 2500 / 2600 / 2700 / 2800 / 2900 / 3000

Источник: ФИПИ

Решение:
$\Delta ABC \sim \Delta AB_{1} C_{1}$ по двум углам.
$\frac{B_{1} C_{1}}{8} = \frac{3{,}6}{12{,}4 + 3{,}6}$
$\frac{B_{1} C_{1}}{8} = \frac{3{,}6}{16} , B_{1} C_{1} = \frac{8 \cdot 3{,}6}{16} = 1{,}8 .$

Ответ: 1,8

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Рассмотрим правильный девятиугольник. Окружность, описанная около него, разделена вершинами на 9 равных дуг. Градусная мера каждой такой дуги составляет $360^{\circ} : 9 = 40^{\circ}$.

Угол $IFG$ является вписанным в эту окружность. Он опирается на дугу $IG$, которая объединяет в себе две элементарные дуги девятиугольника. Таким образом, величина дуги $IG$ равна $2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

По свойству вписанного угла, его величина в два раза меньше дуги, на которую он опирается: $$\angle IFG = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$$

Ответ: 40

Источник: ФИПИ

Решение:
1) $\cos А = \frac{АВ}{АС} .$
2) $АН^{2} + НС^{2} + НВ^{2}$
$АН = \sqrt{АС^{2} - НС^{2}}$$= \sqrt{25^{2} - 24^{2}} = \sqrt{49} = 7 .$
3) $\cos А = \frac{7}{25} = 0{,}28 .$

Ответ: 0,28

Источник: ФИПИ

Решение:
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (его длина, ширина и высота) будут $a, b$ и $c$. Известно, что объем вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Исходя из этого, вычислим неизвестное третье ребро, разделив объем на произведение двух известных сторон: $$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{560}{7 \cdot 8} = \frac{560}{56} = 10.$$ Теперь, когда все три измерения найдены ($7, 8$ и $10$), можно определить площадь полной поверхности параллелепипеда. Она находится как удвоенная сумма площадей трех различных граней: $$S = 2(ab + bc + ac).$$ Подставим наши значения в формулу: $$S = 2 \cdot (7 \cdot 8 + 8 \cdot 10 + 7 \cdot 10) = 2 \cdot (56 + 80 + 70) = 2 \cdot 206 = 412.$$

Ответ: 412

Источник: ФИПИ

Решение:
$\left(2 \frac{4}{5} - 0{,}8\right) \cdot 3 \frac{1}{8} = ( 2{,}8 - 0{,}8 ) \cdot 3{,}125$$= 2 \cdot 3{,}125 = 6{,}25 .$

Ответ: 6,25

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала определим процентное содержание мальчиков в учебном заведении. Так как девочки составляют $48\%$, то на долю мальчиков приходится $100\% - 48\% = 52\%$.
Из условия задачи следует, что разница между количеством мальчиков и девочек в процентах равна $52\% - 48\% = 4\%$. По условию эта разница соответствует $60$ ученикам.
Вычислим общее число учащихся в школе, приняв $4\%$ за $60$ человек: $$\frac{60}{4} \cdot 100 = 1500 \text{ (чел.)}$$ Теперь, зная общее количество детей, найдем число мальчиков ($52\%$ от всех учеников): $$1500 \cdot 0{,}52 = 780 \text{ человек.}$$

Ответ: 780

Источник: ФИПИ

Решение:
Для преобразования данного выражения применим формулу синуса двойного аргумента $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Заметим, что в числителе произведение $\sin 16^{\circ} \cdot \cos 16^{\circ}$ при умножении на $2$ даст $\sin 32^{\circ}$. Тогда исходную дробь можно переписать следующим образом: $$\frac{10 \sin 16^{\circ} \cdot \cos 16^{\circ}}{\sin 32^{\circ}} = \frac{5 \cdot (2 \sin 16^{\circ} \cdot \cos 16^{\circ})}{\sin 32^{\circ}} = \frac{5 \sin 32^{\circ}}{\sin 32^{\circ}}.$$ После сокращения на $\sin 32^{\circ}$ получаем итоговый результат: $$\frac{5 \sin 32^{\circ}}{\sin 32^{\circ}} = 5.$$

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Для начала приведём обе части уравнения к общему основанию. Заметим, что число $\frac{1}{64}$ можно представить как степень четвёрки:
$4^{x - 7} = \frac{1}{64} \implies 4^{x - 7} = 4^{-3}$.
Так как основания в левой и правой частях одинаковы, мы можем приравнять показатели степеней:
$x - 7 = -3$.
Перенесём константу в правую часть и найдём значение переменной:
$x = 7 - 3$, следовательно, $x = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Разбор задания:

Для каждого выражения определим, в какой из числовых промежутков попадает его значение:

А) Рассмотрим число $- \frac{1}{\sqrt{0{,}5}}$. Очевидно, что это значение отрицательное. Среди предложенных вариантов под это описание подходит только четвёртый промежуток: $[ -2 ; -1 ]$. Таким образом, А — 4.

Б) Вычислим значение произведения $\sqrt{0{,}5} \cdot 6$. Преобразуем его: $6 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. Учитывая, что $\sqrt{2}$ примерно равен $1{,}4$, получаем: $3 \cdot 1{,}4 = 4{,}2$. Это число находится в границах от 4 до 5, что соответствует промежутку $[ 4 ; 5 ]$. Значит, Б — 3.

В) Проанализируем сумму $\sqrt{0{,}5} + 2$. Так как $0 < \sqrt{0{,}5} < 1$, то результат будет больше 2, но не превысит 3. Это соответствует промежутку $[ 2 ; 3 ]$. Следовательно, В — 2.

Г) Возведём число в квадрат: $\left(\sqrt{0{,}5}\right)^{2} = 0{,}5$. Полученное значение $0{,}5$ располагается внутри интервала от 0 до 1. Это промежуток $[ 0 ; 1 ]$. Получаем Г — 1.

Сопоставив все буквы с цифрами, получаем искомую последовательность.

Ответ: 4321

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Исходя из условий задачи, искомое число $N$ при делении на 3 и на 4 дает в остатке 1:
$N = 3m + 1$
$N = 4n + 1$
Это означает, что число $N$ при делении на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4 (то есть на 12) также будет давать остаток 1.
Таким образом, общую формулу числа можно записать в виде:
$$N = 12k + 1$$ Согласно дополнительному условию, в записи числа должны использоваться только цифры от 5 до 9.
Методом подбора находим подходящее значение. Например, при $k = 47$:
$N = 12 \cdot 47 + 1 = 564 + 1 = 565$.
Данное число состоит из цифр 5 и 6, что удовлетворяет всем требованиям.

Ответ: 565

Источник: ФИПИ

Решение:
Для нахождения скорости на спуске составим и решим уравнение, исходя из условий задачи:
$2 ( x - 2 ) + 4 x = 26$
Раскроем скобки в левой части выражения:
$2 x - 4 + 4 x = 26$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и перенесем числовые значения в правую часть:
$6 x = 26 + 4$
$6 x = 30$ 
Разделим обе части уравнения на 6:
$x = 5$
Таким образом, искомая скорость $v$ на спуске составляет 5 км/ч.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала вычислим общую сумму всех чисел, записанных в таблице. Она составляет: $103 + 95 + 86 = 284$. По условию задачи, сумма элементов в любой строке может принимать только два значения: 13 или 14.
Оценим возможное количество строк в данной таблице. Если бы в каждой строке сумма была максимальной (равной 14), то количество строк было бы не меньше, чем $\frac{284}{14} = 20 \frac{2}{7}$. Если же предположить, что в каждой строке сумма минимальна (равна 13), то количество строк не превышало бы $\frac{284}{13} = 21 \frac{11}{13}$.
Поскольку число строк должно быть целым, единственным подходящим значением в интервале от $20 \frac{2}{7}$ до $21 \frac{11}{13}$ является число 21. Таким образом, в таблице ровно 21 строка.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ