Задание №13 — Рациональные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\frac{x}{x + 2} + \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} + x - 2} = 0$.
Для начала определим область допустимых значений. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$x \neq - 2$ и $x \neq 1$.
Заметим, что $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x - 1) + (x - 2)(x + 2) - 2}{x^2 + x - 2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
$x^2 - x + x^2 - 4 - 2 = 0$,
$2x^2 - x - 6 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
Находим корни:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$.
Получаем два значения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1,5$. Оба числа удовлетворяют ОДЗ.
б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[-4; \sqrt{5}]$.
1) Проверим корень $x = -1,5$:
Очевидно, что $-4 < -1,5$. Сравним $-1,5$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $-1,5$ — число отрицательное, а $\sqrt{5}$ — положительное, то $-1,5 < \sqrt{5}$. Корень входит в промежуток.
2) Проверим корень $x = 2$:
Так как $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то $2 < \sqrt{5}$. Также $2 > -4$. Следовательно, этот корень тоже принадлежит заданному отрезку.

Ответ: а) $-1,5; 2$; б) $-1,5; 2$.

Источник: ФИПИ