Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Рациональные уравнения

а) Решите уравнение: $\frac{x}{x + 2} + \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} + x - 2} = 0 .$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 4 ; \sqrt{5}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\frac{x}{x + 2} + \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} + x - 2} = 0$ .
Для начала определим область допустимых значений. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$x \neq - 2$ и $x \neq 1$ .
Заметим, что $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ . Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x - 1) + (x - 2)(x + 2) - 2}{x^2 + x - 2} = 0$ .
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
$x^2 - x + x^2 - 4 - 2 = 0$ ,
$2x^2 - x - 6 = 0$ .
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$ .
Находим корни:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$ .
Получаем два значения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1,5$ . Оба числа удовлетворяют ОДЗ.
б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[-4; \sqrt{5}]$ .
1) Проверим корень $x = -1,5$ :
Очевидно, что $-4 < -1,5$ . Сравним $-1,5$ и $\sqrt{5}$ . Поскольку $-1,5$ — число отрицательное, а $\sqrt{5}$ — положительное, то $-1,5 < \sqrt{5}$ . Корень входит в промежуток.
2) Проверим корень $x = 2$ :
Так как $2 = \sqrt{4}$ , а $\sqrt{4} < \sqrt{5}$ , то $2 < \sqrt{5}$ . Также $2 > -4$ . Следовательно, этот корень тоже принадлежит заданному отрезку.

Ответ: а) $-1,5; 2$ ; б) $-1,5; 2$ .

Источник: ФИПИ