Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Рациональные уравнения

а) Решите уравнение: $\frac{x}{x - 3} + \frac{x + 3}{x - 5} + \frac{6}{x^{2} - 8 x + 15} = 0 .$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \sqrt{2} ; \sqrt{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\frac{x}{x - 3} + \frac{x + 3}{x - 5} + \frac{6}{x^{2} - 8 x + 15} = 0$ .
Для начала определим область допустимых значений. Знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно:
$x \neq 3$ и $x \neq 5$ .
Заметим, что $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$ . Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x - 5) + (x + 3)(x - 3) + 6}{(x - 3)(x - 5)} = 0$
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Раскроем скобки в числителе:
$x^{2} - 5x + x^{2} - 9 + 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:
$2x^{2} - 5x - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ .
Вычислим корни уравнения:
$x = \frac{5 \pm 7}{4}$
Получаем два значения: $x_{1} = 3$ и $x_{2} = -0,5$ .
С учетом ограничений ( $x \neq 3$ ), корень $x = 3$ является посторонним. Таким образом, решением уравнения является только $x = -0,5$ .
б) Выясним, принадлежит ли найденный корень отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .
Сравним число $-0,5$ с границами промежутка. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$ , то справедливо двойное неравенство:
$-1,41 < -0,5 < 1,41$ , что соответствует $-\sqrt{2} < -\frac{1}{2} < \sqrt{2}$ .
Следовательно, число $-\frac{1}{2}$ входит в заданный интервал.

Ответ: а) $-0,5$ ; б) $-0,5$

Источник: ФИПИ