Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\frac{x}{x - 3} + \frac{x + 3}{x - 5} + \frac{6}{x^{2} - 8 x + 15} = 0$.
Для начала определим область допустимых значений. Знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно:
$x \neq 3$ и $x \neq 5$.
Заметим, что $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x - 5) + (x + 3)(x - 3) + 6}{(x - 3)(x - 5)} = 0$
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Раскроем скобки в числителе:
$x^{2} - 5x + x^{2} - 9 + 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:
$2x^{2} - 5x - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Вычислим корни уравнения:
$x = \frac{5 \pm 7}{4}$
Получаем два значения: $x_{1} = 3$ и $x_{2} = -0,5$.
С учетом ограничений ($x \neq 3$), корень $x = 3$ является посторонним. Таким образом, решением уравнения является только $x = -0,5$.
б) Выясним, принадлежит ли найденный корень отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.
Сравним число $-0,5$ с границами промежутка. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$, то справедливо двойное неравенство:
$-1,41 < -0,5 < 1,41$, что соответствует $-\sqrt{2} < -\frac{1}{2} < \sqrt{2}$.
Следовательно, число $-\frac{1}{2}$ входит в заданный интервал.

Ответ: а) $-0,5$; б) $-0,5$

Источник: ФИПИ