Задание №14 — Рациональные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right)^{2} - \frac{5 x + 10}{2 x - 1} + 2 = 0$.
Заметим, что в числителе второй дроби можно вынести общий множитель: $2 \left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right)^{2} - 5 \cdot \frac{x + 2}{2 x - 1} + 2 = 0$.
Установим область допустимых значений: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq \frac{1}{2}$.
Для упрощения решения введем новую переменную, пусть $t = \frac{x + 2}{2 x - 1}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного:
$2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Вычислим корни для переменной $t$:
$t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$, откуда получаем два значения: $t_{1} = 2$ и $t_{2} = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 2$, то $\frac{x + 2}{2 x - 1} = 2$. Перемножая крест-накрест, имеем: $x + 2 = 4x - 2$, что дает $3x = 4$, то есть $x = \frac{4}{3}$.
2) Если $t = \frac{1}{2}$, то $\frac{x + 2}{2 x - 1} = \frac{1}{2}$. Отсюда $2(x + 2) = 2x - 1$, что приводит к противоречию: $2x + 4 = 2x - 1$, или $4 = -1$. В этом случае решений нет.
Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = \frac{4}{3}$.
б) Проверим, принадлежит ли найденный корень отрезку $\left[- \sqrt{20} ; \sqrt{8}\right]$.
Сравним числа: $- \sqrt{20} < \frac{4}{3} < \sqrt{8}$.
Для удобства возведем части неравенства в квадрат (учитывая знаки):
$- 20 < \frac{16}{9} < 8$.
Так как $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$, данное двойное неравенство очевидно выполняется. Значит, корень входит в указанный промежуток.

Ответ: а) $\frac{4}{3}$; б) $\frac{4}{3}$

Источник: ФИПИ