Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{5 \left(x + 2\right)}{x - 2} + 6 = 0$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = \frac{x - 2}{x + 2}$. Тогда уравнение примет вид:
$t - \frac{5}{t} + 6 = 0$.
Приведя выражение к общему знаменателю (учитывая, что $t \neq 0$), получим квадратное уравнение:
$t^{2} + 6t - 5 = 0$
Находим корни полученного уравнения: $t_{1} = -5$ и $t_{2} = -1$.
Теперь выполним обратную подстановку:
1) Если $\frac{x - 2}{x + 2} = -5$, то $x - 2 = -5(x + 2)$. Раскрываем скобки: $x - 2 = -5x - 10$. Отсюда $6x = -8$, то есть $x = -\frac{4}{3}$.
2) Если $\frac{x - 2}{x + 2} = -1$, то $x - 2 = -(x + 2)$. Получаем $x - 2 = -x - 2$, откуда $2x = 0$, следовательно, $x = 0$.
Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.
б) Выясним, какие из корней принадлежат отрезку $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.
Для числа $0$: очевидно, что $-\sqrt{6} \leq 0 \leq \sqrt{6}$, так как $0$ находится между отрицательным и положительным числами. Это подтверждается неравенством $-6 \leq 0 \leq 6$.
Для числа $-\frac{4}{3}$: сравним его с границами. Возведя в квадрат (с учетом знаков), получим, что $-\sqrt{6} \leq -\frac{4}{3} \leq \sqrt{6}$ эквивалентно $-6 \leq -\frac{16}{9} \leq 6$. Поскольку $\frac{16}{9} \approx 1,78$, данное число входит в указанный промежуток.

Ответ: а) $-\frac{4}{3}; 0$; б) $-\frac{4}{3}; 0$.

Источник: ФИПИ