Задание №14 — Рациональные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{5 \left(x + 2\right)}{x - 2} + 6 = 0$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = \frac{x - 2}{x + 2}$, причём $t \neq 0$. Тогда $\frac{5(x + 2)}{x - 2} = \frac{5}{t}$, и уравнение примет вид:
$t - \frac{5}{t} + 6 = 0$.
Умножив обе части на $t$, получим квадратное уравнение:
$t^{2} + 6t - 5 = 0$
Его дискриминант равен $36 + 20 = 56$, поэтому $t = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$.
Теперь выполним обратную подстановку. Из равенства $\frac{x - 2}{x + 2} = t$ следует $x - 2 = t(x + 2)$, откуда $x(1 - t) = 2 + 2t$ и $x = \frac{2(1 + t)}{1 - t}$.
1) Если $t = -3 + \sqrt{14}$, то $x = \frac{2(\sqrt{14} - 2)}{4 - \sqrt{14}} = \frac{2(\sqrt{14} - 2)(4 + \sqrt{14})}{16 - 14} = 6 + 2\sqrt{14}$.
2) Если $t = -3 - \sqrt{14}$, то $x = \frac{-2(\sqrt{14} + 2)}{4 + \sqrt{14}} = \frac{-2(\sqrt{14} + 2)(4 - \sqrt{14})}{16 - 14} = 6 - 2\sqrt{14}$.
Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.
б) Выясним, какие из корней принадлежат отрезку $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.
Так как $\sqrt{14} \approx 3,74$, то $6 + 2\sqrt{14} \approx 13,48$. Правая граница отрезка $\sqrt{6} \approx 2,45$, поэтому корень $6 + 2\sqrt{14}$ отрезку не принадлежит.
Для второго корня $6 - 2\sqrt{14} \approx -1,48$, и $-2,45 < -1,48 < 2,45$, значит, он принадлежит отрезку.

Ответ: а) $6 - 2\sqrt{14}; 6 + 2\sqrt{14}$; б) $6 - 2\sqrt{14}$.

Источник: ФИПИ