Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Рациональные уравнения

а) Решите уравнение: $\left(x + 5\right) \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \cdot \left(x - 5\right) = 161 .$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0 ; 6\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Исходное уравнение имеет вид: $(x + 5)(x - 3)(x + 3)(x - 5) = 161$ .
Для удобства сгруппируем скобки по формуле разности квадратов:
$((x + 5)(x - 5)) \cdot ((x + 3)(x - 3)) = 161$
$(x^2 - 25)(x^2 - 9) = 161$
Введем новую переменную $t = x^2$ , где $t \geq 0$ . Тогда уравнение примет вид:
$(t - 25)(t - 9) = 161$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$t^2 - 9t - 25t + 225 - 161 = 0$
$t^2 - 34t + 64 = 0$
Решив полученное квадратное уравнение (например, через дискриминант или по теореме Виета), находим корни:
$t_1 = 32$ , $t_2 = 2$
Оба значения удовлетворяют условию $t \geq 0$ . Выполним обратную замену:
1) $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$
2) $x^2 = 32 \Rightarrow x = \pm\sqrt{32}$ (что также можно записать как $\pm 4\sqrt{2}$ )

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 6]$ .
Очевидно, что отрицательные числа $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{32}$ не входят в данный промежуток, так как они меньше нуля.
Проверим положительные значения:
Для $\sqrt{2}$ : так как $0 < 2 < 36$ , то $0 < \sqrt{2} < 6$ . Корень подходит.
Для $\sqrt{32}$ : так как $0 < 32 < 36$ , то $0 < \sqrt{32} < 6$ . Корень также подходит.
Таким образом, искомыми значениями являются $\sqrt{2}$ и $\sqrt{32}$ .

Ответ: а) $\pm \sqrt{2}; \pm \sqrt{32}$ ; б) $\sqrt{2}; \sqrt{32}$

Источник: ФИПИ