Задание №13 — Рациональные уравнения

Решение:
а) Исходное уравнение имеет вид: $(x + 5)(x - 3)(x + 3)(x - 5) = 161$.
Для удобства сгруппируем скобки по формуле разности квадратов:
$((x + 5)(x - 5)) \cdot ((x + 3)(x - 3)) = 161$
$(x^2 - 25)(x^2 - 9) = 161$
Введем новую переменную $t = x^2$, где $t \geq 0$. Тогда уравнение примет вид:
$(t - 25)(t - 9) = 161$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$t^2 - 9t - 25t + 225 - 161 = 0$
$t^2 - 34t + 64 = 0$
Решив полученное квадратное уравнение (например, через дискриминант или по теореме Виета), находим корни:
$t_1 = 32$, $t_2 = 2$
Оба значения удовлетворяют условию $t \geq 0$. Выполним обратную замену:
1) $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$
2) $x^2 = 32 \Rightarrow x = \pm\sqrt{32}$ (что также можно записать как $\pm 4\sqrt{2}$)

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 6]$.
Очевидно, что отрицательные числа $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{32}$ не входят в данный промежуток, так как они меньше нуля.
Проверим положительные значения:
Для $\sqrt{2}$: так как $0 < 2 < 36$, то $0 < \sqrt{2} < 6$. Корень подходит.
Для $\sqrt{32}$: так как $0 < 32 < 36$, то $0 < \sqrt{32} < 6$. Корень также подходит.
Таким образом, искомыми значениями являются $\sqrt{2}$ и $\sqrt{32}$.

Ответ: а) $\pm \sqrt{2}; \pm \sqrt{32}$; б) $\sqrt{2}; \sqrt{32}$

Источник: ФИПИ