Задание №13 — Рациональные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\left(x^{2} + 6\right)^{2} - \left(x^{2} + 2\right)^{2} = 6 \left(x^{2} - 3 x + 2\right)$.
Для левой части воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а в правой части раскроем скобки:
$\left(x^{2} + 6 - (x^{2} + 2)\right) \cdot \left(x^{2} + 6 + x^{2} + 2\right) = 6x^{2} - 18x + 12$
Упростим выражение в первых скобках и приведем подобные во вторых:
$4 \cdot \left(2x^{2} + 8\right) = 6x^{2} - 18x + 12$
Раскроем скобки слева:
$8x^{2} + 32 = 6x^{2} - 18x + 12$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$2x^{2} + 18x + 20 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения вычислений:
$x^{2} + 9x + 10 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 81 - 40 = 41$
Корни уравнения вычисляются по формуле:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{41}}{2}$.

б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[-2; 0]$.
Проверим первый корень $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$:
Составим двойное неравенство: $-2 \leq \frac{-9 + \sqrt{41}}{2} \leq 0$.
Умножим на 2: $-4 \leq -9 + \sqrt{41} \leq 0$.
Прибавим 9 ко всем частям: $5 \leq \sqrt{41} \leq 9$.
Возведем в квадрат: $25 \leq 41 \leq 81$. Данное утверждение верно, следовательно, корень принадлежит промежутку.

Проверим второй корень $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$:
Проверим условие $-2 \leq \frac{-9 - \sqrt{41}}{2} \leq 0$.
Умножим на 2: $-4 \leq -9 - \sqrt{41} \leq 0$.
Прибавим 9: $5 \leq -\sqrt{41} \leq 9$.
Так как значение $-\sqrt{41}$ отрицательно, оно не может быть больше 5. Значит, этот корень не входит в заданный отрезок.

Ответ: а) $\frac{-9 \pm \sqrt{41}}{2}$; б) $\frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$

Источник: ФИПИ