Задание №13 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $36^{x} + 36 \cdot 36^{- x} - 13 \left(6^{x} + 6 \cdot 6^{- x}\right) + 42 = 0$.
Для упрощения введем новую переменную $t = 6^{x} + \frac{6}{6^{x}}$.
Возведем это выражение в квадрат: $t^{2} = \left(6^{x} + \frac{6}{6^{x}}\right)^2 = 36^{x} + 2 \cdot 6^x \cdot \frac{6}{6^x} + \frac{36}{36^{x}} = 36^{x} + 12 + \frac{36}{36^{x}}$.
Отсюда следует, что $36^{x} + \frac{36}{36^{x}} = t^{2} - 12$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(t^{2} - 12) - 13t + 42 = 0$
$t^{2} - 13t + 30 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 13 \\ t_{1} \cdot t_{2} = 30 \end{cases}$
Получаем два значения: $t = 10$ или $t = 3$.
Вернемся к замене:
$\left[\begin{matrix} 6^{x} + \frac{6}{6^{x}} = 10 \\ 6^{x} + \frac{6}{6^{x}} = 3 \end{matrix}\right.$
Пусть $6^{x} = y$, где $y > 0$. Тогда имеем совокупность квадратных уравнений:
$\left[\begin{matrix} y^2 - 10y + 6 = 0 \quad (1) \\ y^2 - 3y + 6 = 0 \quad (2) \end{matrix}\right.$
Решим каждое из них:
(1) Находим дискриминант: $D = 100 - 4 \cdot 6 = 76 = (2\sqrt{19})^2$.
Корни: $y = \frac{10 \pm 2\sqrt{19}}{2} = 5 \pm \sqrt{19}$. Оба значения положительны.
(2) Здесь $D = 9 - 24 = -15 < 0$, следовательно, в этой ветке решений нет.
Переходим к обратной замене для $y = 5 \pm \sqrt{19}$:
$6^x = 5 + \sqrt{19} \Rightarrow x = \log_{6}(5 + \sqrt{19})$
$6^x = 5 - \sqrt{19} \Rightarrow x = \log_{6}(5 - \sqrt{19})$
б) Проверим принадлежность найденных корней отрезку $[-2; 3]$.
Для первого корня $x_1 = \log_{6}(5 + \sqrt{19})$:
Сравним: $-2 < \log_{6}(5 + \sqrt{19}) < 3$.
Это равносильно: $\log_{6} \frac{1}{36} < \log_{6}(5 + \sqrt{19}) < \log_{6} 216$.
Так как основание логарифма $6 > 1$, переходим к неравенству аргументов: $\frac{1}{36} < 5 + \sqrt{19} < 216$.
Вычтем 5: $\frac{1}{36} - 5 < \sqrt{19} < 211$.
Очевидно, что $-4\frac{35}{36} < \sqrt{19}$ (отрицательное число меньше положительного) и $\sqrt{19} < \sqrt{44521} = 211$. Условие выполняется.
Для второго корня $x_2 = \log_{6}(5 - \sqrt{19})$:
Проверим: $-2 < \log_{6}(5 - \sqrt{19}) < 3$.
Аналогично: $\frac{1}{36} < 5 - \sqrt{19} < 216$.
Вычтем 5: $\frac{1}{36} - 5 < -\sqrt{19} < 211$.
Умножим на $-1$, меняя знаки: $-211 < \sqrt{19} < 5 - \frac{1}{36}$.
$-211 < \sqrt{19} < 4\frac{35}{36}$.
Так как $\sqrt{19} < \sqrt{25} = 5$, а $4\frac{35}{36} \approx 4,97$, проверим точнее: $(\frac{179}{36})^2 = \frac{32041}{1296} \approx 24,7$. Поскольку $19 < 24,7$, неравенство верно.
Оба корня входят в указанный промежуток.

Ответ: а) $\log _{6} \left(5 \pm \sqrt{19}\right)$; б) $\log _{6} \left(5 \pm \sqrt{19}\right)$

Источник: ФИПИ