Задание №14 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\left(\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}\right)^{x} + \left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}\right)^{x} = 10$.
Заметим, что произведения выражений под корнями дают единицу: $(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 25 - 24 = 1$. Следовательно, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}$.
Введем новую переменную $t = \left(\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}\right)^{x}$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t + \frac{1}{t} = 10$.
Умножим обе части на $t$:
$t^{2} - 10t + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-10)^{2} - 4 \cdot 1 = 96$. Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
Корни квадратного уравнения:
$t_{1} = \frac{10 + 4 \sqrt{6}}{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$
$t_{2} = \frac{10 - 4 \sqrt{6}}{2} = 5 - 2 \sqrt{6}$
Выполним обратную подстановку:
$\left[\begin{matrix} \left(\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}\right)^{x} = 5 + 2 \sqrt{6} \\ \left(\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}\right)^{x} = 5 - 2 \sqrt{6} \end{matrix}\right.$
Представим правые части как степени основания $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$:
$\left[\begin{matrix} (5 + 2 \sqrt{6})^{\frac{x}{2}} = (5 + 2 \sqrt{6})^{1} \\ (5 + 2 \sqrt{6})^{\frac{x}{2}} = (5 + 2 \sqrt{6})^{-1} \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем совокупность решений:
$\left[\begin{matrix} \frac{x}{2} = 1 \\ \frac{x}{2} = -1 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x = 2 \\ x = -2 \end{matrix}\right.$
б) Проверим, какие из корней попадают в отрезок $\left[\log _{5} 16 ; \log _{26} 700\right]$.
Для числа $2$:
$2 = \log _{5} 5^2 = \log _{5} 25$. Так как $25 > 16$, то $\log _{5} 25 > \log _{5} 16$.
$2 = \log _{26} 26^2 = \log _{26} 676$. Так как $676 < 700$, то $\log _{26} 676 < \log _{26} 700$.
Таким образом, $\log _{5} 16 < 2 < \log _{26} 700$, то есть корень $2$ принадлежит заданному промежутку.
Для числа $-2$:
$-2 = \log _{5} 5^{-2} = \log _{5} \frac{1}{25}$.
Очевидно, что $\frac{1}{25} < 16$, поэтому $\log _{5} \frac{1}{25} < \log _{5} 16$.
Следовательно, $-2$ лежит левее указанного отрезка и не входит в него.

Ответ: а) $\pm 2$; б) $2$

Источник: ФИПИ