Задание №14 — Логарифмические уравнения

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} x + \log _{3} x = \log _{2} x \cdot \log _{3} x$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Поскольку $x$ стоит под знаком логарифма и в процессе преобразований может оказаться в знаменателе, запишем условия:
$x > 0$ и $x \neq 1$.
Таким образом, $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Приведем все логарифмы к единому основанию 2, используя формулу перехода:
$\log _{2} x + \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 3} = \log _{2} x \cdot \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 3}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\log _{2} x$ за скобки:
$\log _{2} x \left(1 + \frac{1}{\log _{2} 3} - \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 3}\right) = 0$.
Данное произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $\log _{2} x = 0$, откуда $x = 1$. Однако, согласно ОДЗ исходного уравнения (если рассматривать его в первоначальном виде), $x=1$ является корнем, так как $0+0=0\cdot 0$.
2) $1 + \frac{1}{\log _{2} 3} - \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 3} = 0$.
Умножим обе части этого уравнения на $\log _{2} 3$:
$\log _{2} 3 + 1 - \log _{2} x = 0$.
Выразим логарифм переменной:
$\log _{2} x = \log _{2} 3 + \log _{2} 2$,
$\log _{2} x = \log _{2} (3 \cdot 2)$,
$\log _{2} x = \log _{2} 6$, следовательно, $x = 6$.
Оба найденных значения $x=1$ и $x=6$ подходят под условие $x > 0$.

б) Выясним, какие из корней принадлежат отрезку $\left[\frac{\sqrt{5}}{3} ; \sqrt{30}\right]$.
Проверим корень $x = 1$:
Так как $\frac{5}{9} < 1 < 30$, то неравенство $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1 < \sqrt{30}$ справедливо. Корень $1$ входит в указанный промежуток.
Проверим корень $x = 6$:
Сравним число $6$ с концами отрезка. Заметим, что $6 = \sqrt{36}$.
Так как $36 > 30$, то $\sqrt{36} > \sqrt{30}$, то есть $6 > \sqrt{30}$.
Следовательно, корень $6$ не принадлежит данному отрезку.

Ответ: а) $1; 6$; б) 1

Источник: ФИПИ