Задание №14 — Логарифмические уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\log _{2} \left(\left|x - 1\right| + 2\right) = 3 - \log _{0{,}5} \left(\left|x - 1\right| - 1\right)$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$$\begin{cases} \left|x - 1\right| + 2 > 0 \\ \left|x - 1\right| - 1 > 0 \end{cases}$$
Первое неравенство выполняется при любых $x$, так как модуль — величина неотрицательная. Из второго получаем:
$\left|x - 1\right| > 1$
Это равносильно совокупности:
$x - 1 > 1$ или $x - 1 < -1$
$x > 2$ или $x < 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in \left(-\infty; 0\right) \cup \left(2; +\infty\right)$.

Преобразуем уравнение, приведя логарифмы к одному основанию. Заметим, что $0{,}5 = 2^{-1}$, тогда:
$\log _{2} \left(\left|x - 1\right| + 2\right) = 3 - \frac{1}{-1} \log _{2} \left(\left|x - 1\right| - 1\right)$
$\log _{2} \left(\left|x - 1\right| + 2\right) = 3 + \log _{2} \left(\left|x - 1\right| - 1\right)$
Перенесем логарифмы в одну часть и воспользуемся свойством разности логарифмов:
$\log _{2} \left(\left|x - 1\right| + 2\right) - \log _{2} \left(\left|x - 1\right| - 1\right) = 3$
$\log _{2} \frac{\left|x - 1\right| + 2}{\left|x - 1\right| - 1} = 3$
По определению логарифма:
$\frac{\left|x - 1\right| + 2}{\left|x - 1\right| - 1} = 2^3 = 8$

Для удобства введем замену $t = \left|x - 1\right|$, где $t > 1$ согласно ОДЗ:
$\frac{t + 2}{t - 1} = 8$
$t + 2 = 8(t - 1)$
$t + 2 = 8t - 8$
$7t = 10$
$t = \frac{10}{7}$

Вернемся к переменной $x$:
$\left|x - 1\right| = \frac{10}{7}$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $x - 1 = \frac{10}{7} \Rightarrow x = 1 + \frac{10}{7} = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7}$
2) $x - 1 = -\frac{10}{7} \Rightarrow x = 1 - \frac{10}{7} = -\frac{3}{7}$
Оба полученных значения входят в область допустимых значений.

б) Выясним, какие из корней принадлежат отрезку $[-0{,}5; 2{,}2]$.
Проверим корень $x = \frac{17}{7}$:
Сравним $\frac{17}{7}$ и $2{,}2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$.
$\frac{17}{7} \vee \frac{11}{5} \Rightarrow 85 > 77$. Значит, $2\frac{3}{7} > 2{,}2$, корень не подходит.

Проверим корень $x = -\frac{3}{7}$:
Сравним $-0{,}5 = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{3}{7}$.
$-\frac{1}{2} \vee -\frac{3}{7} \Rightarrow -7 < -6$. Значит, $-0{,}5 < -\frac{3}{7}$.
Так как $-\frac{3}{7} < 0$, а $0 < 2{,}2$, то корень $-\frac{3}{7}$ лежит внутри заданного промежутка.

Ответ: а) $-\frac{3}{7}; \frac{17}{7}$; б) $-\frac{3}{7}$

Источник: ФИПИ