Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\log _{3} x \cdot \log _{3} ( x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 ) = \log _{3} \left(x + 4\right)$.
Для корректности логарифмов установим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases}$
Разложим многочлен в первом неравенстве на множители: $x^2(x+4) - 4(x+4) = (x^2-4)(x+4) = (x-2)(x+2)(x+4) > 0$.
С учетом условия $x > -4$, получаем допустимые значения переменной: $x \in (-4; -2) \cup (2; +\infty)$.
Примечание: в исходном условии допущена опечатка в записи логарифма, перейдем к решению уравнения вида:
$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 = x + 4$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^{3} + 4 x^{2} - 5 x - 20 = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$x^{2} (x + 4) - 5 (x + 4) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$(x^{2} - 5) (x + 4) = 0$
Отсюда получаем совокупность корней:
$\left[\begin{matrix} x^{2} - 5 = 0 \\ x + 4 = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \sqrt{5} \\ x = -\sqrt{5} \\ x = -4 \end{matrix}\right.$
Сопоставим найденные значения с ОДЗ. Значение $x = -4$ не входит в область определения. Числа $\sqrt{5} \approx 2,24$ и $-\sqrt{5} \approx -2,24$ удовлетворяют условиям $x \in (-4; -2) \cup (2; +\infty)$.
Таким образом, корни уравнения: $x = \pm \sqrt{5}$.

б) Определим, какие из корней попадают в отрезок $[\log_{0,5} 8; \log_{0,5} 1]$.
Упростим границы интервала: $\log_{0,5} 8 = -3$ и $\log_{0,5} 1 = 0$. То есть ищем корни на промежутке $[-3; 0]$.
1) Проверим корень $x = \sqrt{5}$:
Так как $\sqrt{5} > 0$, данное число не принадлежит интервалу $[-3; 0]$.
2) Проверим корень $x = -\sqrt{5}$:
Сравним $-3$ и $-\sqrt{5}$. Поскольку $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то $-3 < -\sqrt{5}$.
Так как $-3 < -\sqrt{5} < 0$, корень $x = -\sqrt{5}$ принадлежит заданному отрезку.

Ответ: а) $\pm \sqrt{5};$ б) $-\sqrt{5}$

Источник: ФИПИ