Задание №14 — Логарифмические уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\log _{3} x \cdot \log _{3} ( 3 x^{2} - 4 ) = \log _{3} \left(\frac{x \left(3 x^{2} - 4\right)}{3}\right)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{\begin{matrix} x > 0 \\ 3 x^{2} - 4 > 0 \\ \frac{x \left(3 x^{2} - 4\right)}{3} > 0 \end{matrix}\right.$
Решая систему неравенств, получаем условия на переменную:
$\left\{\begin{matrix} x > 0 \\ x \in \left(- \infty ; -\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\frac{2}{\sqrt{3}} ; + \infty\right) \\ x \in \left(- \frac{2}{\sqrt{3}} ; 0\right) \cup \left(\frac{2}{\sqrt{3}} ; + \infty\right) \end{matrix}\right.$
Следовательно, $x > \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифма произведения и частного:
$\log _{3} x \cdot \log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) = \log _{3} x + \log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) - \log_{3} 3$
$\log _{3} x \cdot \log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) - \log _{3} x - \log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) + 1 = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$\log _{3} x ( \log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) - 1 ) - ( \log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) - 1 ) = 0$
$\left(\log _{3} x - 1\right) \left(\log _{3} \left(3 x^{2} - 4\right) - 1\right) = 0$
Применяя метод рационализации или переходя к равносильным уравнениям, находим:
$(x - 3) (3x^2 - 4 - 3) = 0$
$(x - 3) (3x^2 - 7) = 0$
Отсюда получаем корни:
$x_1 = 3$, $x_2 = \sqrt{\frac{7}{3}}$, $x_3 = -\sqrt{\frac{7}{3}}$.
Учитывая ОДЗ ($x > \frac{2}{\sqrt{3}}$):
1) $3 > \frac{2}{\sqrt{3}}$ — подходит.
2) $\sqrt{\frac{7}{3}} > \frac{2}{\sqrt{3}}$, так как $\frac{7}{3} > \frac{4}{3}$ — подходит.
3) $-\sqrt{\frac{7}{3}}$ — не подходит, так как значение отрицательно.
Таким образом, корни пункта (а): $3$ и $\sqrt{\frac{7}{3}}$.

б) Проверим принадлежность корней отрезку $[\log _{5} 3 ; \log _{5} 30]$.
Для $x = 3$: представим число в виде логарифма $3 = \log _{5} 5^{3} = \log _{5} 125$.
Так как $125 > 30$, то $\log _{5} 125 > \log _{5} 30$, значит, корень $3$ не входит в заданный промежуток.
Для $x = \sqrt{\frac{7}{3}}$:
Заметим, что $\sqrt{\frac{7}{3}} = \sqrt{2 \frac{1}{3}}$.
Очевидно, что $1 < \sqrt{2 \frac{1}{3}} < 2$.
Тогда $\log _{5} 5^1 < \log _{5} 5^{\sqrt{2 \frac{1}{3}}} < \log _{5} 5^2$, то есть $\log _{5} 5 < \sqrt{2 \frac{1}{3}} \cdot \log_5 5 < \log _{5} 25$.
Сравним с границами отрезка:
$\log _{5} 3 < \log _{5} 5 < \sqrt{\frac{7}{3}} < \log _{5} 25 < \log _{5} 30$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{7}{3}} \in [\log _{5} 3 ; \log _{5} 30]$.

Ответ: а) $3; \sqrt{\frac{7}{3}}$; б) $\sqrt{\frac{7}{3}}$

Источник: ФИПИ