Задание №20 — Свойства чисел

Разбор задачи:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём число $2014$. Его можно представить как сумму $2006 + 8$. При этом сумма цифр первого слагаемого равна $2 + 0 + 0 + 6 = 8$, что совпадает со вторым слагаемым.
б) Предположим, что число $199$ можно разложить на два натуральных числа $A$ и $B$ с равной суммой цифр: $A + B = 199$.
Проанализируем сложение $A$ и $B$ по разрядам. В разряде единиц сумма цифр должна давать $9$. Поскольку максимальная сумма двух цифр — $18$, переноса в следующий разряд быть не может. Аналогично в разряде десятков: сумма цифр равна $9$, и перенос в сотни отсутствует. В разряде сотен сумма цифр равна $1$.
Пусть число $A$ записывается как $\overline{abc}$, тогда его сумма цифр $S(A) = a + b + c$. Исходя из структуры суммы $199$, число $B$ будет иметь вид $\overline{(1-a)(9-b)(9-c)}$. Тогда сумма цифр второго числа: $S(B) = (1 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 19 - (a + b + c)$.
Заметим, что выражения $S(A)$ и $19 - S(A)$ всегда имеют разную четность (так как их сумма $19$ — нечетное число). Следовательно, они не могут быть равны.
Если же приравнять их: $a + b + c = 19 - (a + b + c)$, то получим $2(a + b + c) = 19$, откуда $a + b + c = 9{,}5$. Но сумма цифр обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что для числа $199$ такое представление невозможно.
в) Нам нужно найти минимально возможную сумму шести различных натуральных чисел $x_1, x_2, \dots, x_6$, имеющих одинаковую сумму цифр.
Обозначим эту общую сумму цифр через $S$. Заметим, что если у чисел одинаковая сумма цифр, то они дают одинаковые остатки при делении на $9$. Значит, разность между любыми двумя такими числами кратна $9$. Упорядочим их: $x_1 < x_2 < \dots < x_6$. Тогда минимальные значения будут: $x_2 \geq x_1 + 9$, $x_3 \geq x_1 + 18$, ..., $x_6 \geq x_1 + 45$.
Общая сумма $\Sigma \geq 6x_1 + (9 + 18 + 27 + 36 + 45) = 6x_1 + 135$.
Проверим варианты для различных значений суммы цифр $S$:
Если $S = 1$, то числа: $1, 10, 100, 1000, 10000, 100000$. Сумма слишком велика: $111111$.
Если $S = 2$, берем наименьшие: $2, 11, 20, 101, 110, 200$. Сумма равна $444$.
Если $S = 3$, берем наименьшие: $3, 12, 21, 30, 102, 111$. Сумма равна $279$.
Если $S = 4$, берем наименьшие: $4, 13, 22, 31, 40, 103$. Сумма равна $213$.
Если $S = 5$, берем наименьшие: $5, 14, 23, 32, 41, 50$. Сумма равна $165$.
Если $S = 6$, берем наименьшие: $6, 15, 24, 33, 42, 51$. Сумма равна $171$.
Для $S \geq 6$ минимально возможная сумма по формуле $6x_1 + 135$ будет не меньше $6 \cdot 6 + 135 = 171$, что уже больше $165$.
Таким образом, наименьшее искомое число — $165$.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 165

Источник: ФИПИ