Задание №20 — Свойства чисел

Решение:
а) Да, такая возможность существует. В качестве примера возьмём число $2032$. Его можно представить как сумму $2024 + 8$. При этом сумма цифр числа $2024$ равна $2 + 0 + 2 + 4 = 8$, что совпадает со вторым слагаемым.
б) Предположим, что число $799$ можно разложить на два слагаемых $A$ и $B$ с равной суммой цифр: $A + B = 799$.
Проанализируем сложение этих чисел в столбик. Сумма в разряде единиц даёт $9$. Поскольку максимальная сумма двух цифр — $18$, то здесь нет перехода через разряд (переноса в десятки). Аналогично в разряде десятков: сумма цифр равна $9$, значит, переноса в разряд сотен также нет. В разряде сотен сумма цифр составляет $7$.
Пусть число $A$ имеет вид $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда, исходя из отсутствия переносов, число $B$ должно иметь вид $\overline{(7-a)(9-b)(9-c)}$.
Сумма цифр числа $A$ равна $S = a + b + c$.
Сумма цифр числа $B$ равна $(7 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 25 - (a + b + c) = 25 - S$.
Для выполнения условия задачи должно соблюдаться равенство: $S = 25 - S$, откуда $2S = 25$, то есть $S = 12{,}5$.
Однако сумма цифр натурального числа обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что представить $799$ таким образом нельзя.
в) Нам необходимо найти минимальную сумму пяти различных натуральных чисел $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, имеющих одинаковую сумму цифр.
Заметим, что если у чисел одинаковая сумма цифр, то они дают одинаковые остатки при делении на $9$. Следовательно, разность между любыми двумя такими числами кратна $9$. Упорядочим их: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$. Тогда минимально возможные значения: $x_2 \geq x_1 + 9$, $x_3 \geq x_1 + 18$, $x_4 \geq x_1 + 27$, $x_5 \geq x_1 + 36$.
Общая сумма $S \geq 5x_1 + 90$. Рассмотрим различные значения суммы цифр $k$:
1) Если $k = 1$, то минимальные числа: $1, 10, 100, 1000, 10000$. Их сумма равна $11111$.
2) Если $k = 2$, возьмём наименьшие числа: $2, 11, 20, 101, 110$. Сумма: $244$.
3) Если $k = 3$, возьмём: $3, 12, 21, 30, 102$. Сумма: $168$.
4) Если $k = 4$, возьмём: $4, 13, 22, 31, 40$. Сумма: $4 + 13 + 22 + 31 + 40 = 110$.
5) Если $k = 5$, возьмём: $5, 14, 23, 32, 41$. Сумма: $115$.
Для $k \geq 5$ минимальная сумма по формуле $5x_1 + 90$ будет не меньше $5 \cdot 5 + 90 = 115$, что уже больше $110$.
Таким образом, наименьшее искомое значение суммы равно $110$.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 110

Источник: ФИПИ