Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём число $2034$. Сумма его цифр составляет $2 + 0 + 3 + 4 = 9$. Если прибавить это значение к самому числу, получим: $2034 + 9 = 2043$.
б) Предположим, что число $599$ можно разложить на два слагаемых $A$ и $B$ с одинаковой суммой цифр. Рассмотрим процесс их сложения столбиком:
В разряде единиц сумма цифр должна оканчиваться на 9. Поскольку максимальная сумма двух цифр равна 18, она может быть только 9, следовательно, переноса в следующий разряд нет. Аналогично в разряде десятков: сумма цифр без учёта переноса оканчивается на 9, значит, она равна 9, и переноса в сотни также не возникает. В разряде сотен сумма цифр равна 5.
Пусть число $A$ записывается как $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда, исходя из отсутствия переносов, число $B$ будет иметь вид $\overline{(5-a)(9-b)(9-c)}$.
Сумма цифр числа $A$ равна $S = a + b + c$.
Сумма цифр числа $B$ равна $(5 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 23 - (a + b + c) = 23 - S$.
Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $S = 23 - S$, откуда $2S = 23$, то есть $S = 11{,}5$. Однако сумма цифр натурального числа обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что представить число 599 таким образом нельзя.
в) Обозначим искомые семь различных натуральных чисел в порядке возрастания: $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6} < x_{7}$.
Так как суммы цифр у всех этих чисел одинаковы, то при делении на 9 они дают один и тот же остаток. Это означает, что разность между любыми двумя такими числами кратна 9. Минимальный шаг между соседними числами в такой последовательности равен 9. Тогда:
$x_{2} \geq x_{1} + 9$, $x_{3} \geq x_{1} + 18$, ..., $x_{7} \geq x_{1} + 54$.
Общая сумма $S_{7}$ будет удовлетворять неравенству:
$S_{7} \geq x_{1} + (x_{1} + 9) + (x_{1} + 18) + (x_{1} + 27) + (x_{1} + 36) + (x_{1} + 45) + (x_{1} + 54) = 7x_{1} + 189$.
Проверим возможные значения суммы цифр $k$:
При $k = 1$: числа 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. Сумма слишком велика.
При $k = 2$: минимальные числа 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001. Сумма $1445$.
При $k = 3$: числа 3, 12, 21, 30, 102, 111, 201. Сумма $480$.
При $k = 4$: числа 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112. Сумма $325$.
При $k = 5$: числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104. Сумма $269$.
При $k = 6$: числа 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60. Сумма $231$.
При $k = 7$: числа 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61. Сумма $238$.
Для $k \geq 7$ и $x_{1} \geq 7$ минимально возможная сумма по формуле $7x_{1} + 189$ составит $7 \cdot 7 + 189 = 238$, что уже больше 231. Дальнейшее увеличение $k$ или $x_1$ будет только увеличивать итоговую сумму. Таким образом, наименьшее значение — 231.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 231

Источник: ФИПИ