Числа и их свойства (теория чисел) · 29 заданий
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 599 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Лёгкое
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общегоделителя, большего 1. а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50? б) Може…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Лёгкое
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65? б)…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно о…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возм…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного)…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общегоделителя, большего 1.
а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?
б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?
Решение
Решение:
а) Приведём пример случая, когда есть 7 различных чисел, никакие два из которых не имеют общего делителя, большего 1.
Чтобы это условие выполнялось, запишем набор из простых чисел:
1+2+3+5+7+13+19=50.
Получаем набор различных натуральных чисел, у которых нет общего делителя, больше 1 и сумма равна 50 → Да, может.
б) Нам необходимо получить нечетную сумму, но в наборе может быть толькоодно четное число, иначе у двух чисел будет общий делитель 2. Значит у нас получается набор из одного четного числа и 6 нечетных:
Ч+Н+Н+Н+Н+Н+Н→Н+Н=Ч → сумма четная(а нам необходимополучить 47 - нечетное).
Тогда пусть все числа нечетные и наименьшие:
1+3+5+7+11+13+17=57>47 → Нет, не может.
в) Из пункт а мы выяснили, что в наборе возможно только одно четное число, тогда сумма для наименьших возможных чисел равна:
1+2+3+5+7+11+13=42.
А если у нас нет четных чисел, то с помощью пункта б получаем:
1+3+5+7+11+13+17=57.
57>42 → Наименьшая возможная сумма равна 42.
Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 42
Источник: ФИПИ