Задание №19 — Свойства чисел
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65?
б) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 62?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?
Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям
Решение:
а) Чтобы никакие два числа в наборе не имели общих делителей, отличных от единицы (то есть были взаимно простыми), достаточно составить список из единицы и различных простых чисел. Рассмотрим следующий пример:
.
Их сумма составляет: .
Условие задачи выполнено, все числа различны и попарно взаимно просты. Следовательно, такая ситуация возможна.
б) Предположим, что сумма восьми таких чисел равна 62. Заметим, что среди них может быть максимум одно чётное число, так как если чётных чисел будет два или более, их общим делителем станет число 2, что запрещено условием.
Рассмотрим два варианта:
1. В наборе одно чётное число и семь нечётных. Сумма семи нечётных чисел всегда нечётна, а при добавлении к ней чётного числа итоговый результат останется нечётным. Однако число 62 — чётное, что приводит к противоречию.
2. Все восемь чисел нечётные. Возьмём восемь самых маленьких нечётных чисел, не имеющих общих делителей (простых):
.
Так как минимально возможная сумма восьми нечётных чисел равна 76, что больше 62, получить сумму 62 невозможно.
в) Чтобы найти минимальную сумму, проанализируем структуру набора. Как мы выяснили в пункте (б), если в наборе только нечётные числа, сумма не может быть меньше 76.
Если же мы включим в набор одно чётное число, то для минимизации суммы следует взять наименьшие возможные взаимно простые числа (единицу и первые семь простых чисел):
.
Вычислим их сумму: .
Любая другая комбинация восьми различных попарно взаимно простых чисел даст результат больше 59. Таким образом, наименьшее значение суммы равно 59.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 59
Источник: ФИПИ