Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} 2^{\left|x\right| + 3} + 7 \left|x\right| + 1 = 8 y + 7 x^{2} + a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Обратим внимание на симметрию уравнений относительно переменной $x$. Если пара чисел $(x_0; y_0)$ удовлетворяет системе, то и пара $(-x_0; y_0)$ также будет являться её решением, так как $|x| = |-x|$ и $x^2 = (-x)^2$.
Для того чтобы решение было единственным, необходимо выполнение условия $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в систему:
$\left\{\begin{matrix} 2^{0 + 3} + 7 \cdot 0 + 1 = 8 y + 7 \cdot 0 + a \\ 0^2 + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Из второго уравнения получаем: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения параметра $a$ из первого уравнения, которое приняло вид $9 = 8y + a$:
1) При $y = 1$:
$9 = 8 \cdot 1 + a \Rightarrow a = 1$. Получаем потенциальное решение $(0; 1)$.
2) При $y = -1$:
$9 = 8 \cdot (-1) + a \Rightarrow a = 17$. Получаем потенциальное решение $(0; -1)$.

Необходимо проверить найденные значения $a$ на единственность решения.
Пусть $a = 1$. Тогда первое уравнение системы можно преобразовать:
$2^{\left|x\right| + 3} + 7 \left|x\right| + 1 = 8 y + 7 x^{2} + 1$
$8y = 8 \cdot 2^{\left|x\right|} + 7|x| - 7x^2$
$y = 2^{\left|x\right|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{8}$
Из второго уравнения системы $x^2 + y^2 = 1$ следует, что $|x| \leq 1$ и $|y| \leq 1$.
Если $|x| \leq 1$, то выражение $(1 - |x|) \geq 0$. Поскольку $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$ и второе слагаемое в выражении для $y$ неотрицательно, получаем $y \geq 1$.
С учетом ограничения $y \leq 1$, единственно возможным значением является $y = 1$.
Подставив $y = 1$ во второе уравнение $x^2 + 1^2 = 1$, находим $x = 0$.
Значит, при $a = 1$ решение $(0; 1)$ действительно единственное.

Проверим случай $a = 17$. Уравнение для $y$ примет вид:
$y = 2^{\left|x\right|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{8} - 2$
Проверим наличие других решений, кроме $(0; -1)$. Возьмем, например, $x = 1$:
$y = 2^1 + \frac{7 \cdot 1 \cdot (1 - 1)}{8} - 2 = 2 + 0 - 2 = 0$.
Проверим точку $(1; 0)$ по второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$, что верно.
Следовательно, при $a = 17$ система имеет более одного решения (как минимум $(0; -1)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$). Это значение нам не подходит.
Единственное решение достигается только при $a = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ