Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} 6 \cdot 2^{\left|x\right|} + 7 \left|x\right| + 1 = 6 y + 7 x^{2} + a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Заметим важную особенность первого уравнения. Если мы заменим $x$ на $-x$, выражение не изменится, так как $\left|-x\right| = \left|x\right|$ и $(-x)^2 = x^2$. Второе уравнение также инвариантно относительно знака $x$. Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0; y_0)$ тоже будет её решением.
Для того чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы $x_0 = -x_0$, то есть $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в систему, чтобы найти потенциальные значения параметра $a$: $$\left\{\begin{matrix} 6 \cdot 2^{0} + 7 \cdot 0 + 1 = 6 y + 7 \cdot 0 + a \\ 0^2 + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения получаем $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Теперь определим значения $a$ из первого уравнения, которое приняло вид $7 = 6y + a$:
1) При $y = 1$:
$7 = 6 \cdot 1 + a \Rightarrow a = 1$. В этом случае мы имеем точку $(0; 1)$.
2) При $y = -1$:
$7 = 6 \cdot (-1) + a \Rightarrow a = 13$. Здесь получаем точку $(0; -1)$.
Необходимо проверить, будет ли решение единственным при найденных значениях $a$.
Исследование случая $a = 1$:
Система принимает вид: $$\left\{\begin{matrix} 6 \cdot 2^{\left|x\right|} + 7 \left|x\right| + 1 = 6 y + 7 x^{2} + 1 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения следует, что $x^2 \leq 1$ и $y^2 \leq 1$, то есть $|x| \leq 1$ и $|y| \leq 1$.
Выразим $y$ из первого уравнения: $$6y = 6 \cdot 2^{|x|} + 7|x| - 7x^2 \Rightarrow y = 2^{|x|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{6}$$ Так как $|x| \geq 0$, то $2^{|x|} \geq 1$. Учитывая, что $|x| \leq 1$, величина $(1 - |x|)$ неотрицательна, а значит и дробь $\frac{7|x|(1 - |x|)}{6} \geq 0$.
Следовательно, $y \geq 1$. Но из условия $y^2 \leq 1$ мы знаем, что $y \leq 1$. Единственное возможное значение $y = 1$.
Подставив $y = 1$ во второе уравнение $x^2 + 1 = 1$, находим $x = 0$. Значит, при $a = 1$ решение $(0; 1)$ действительно единственное.
Исследование случая $a = 13$:
Система выглядит так: $$\left\{\begin{matrix} 6 \cdot 2^{\left|x\right|} + 7 \left|x\right| + 1 = 6 y + 7 x^{2} + 13 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Выразим $y$: $$y = 2^{\left|x\right|} + \frac{7 \left|x\right| \left(1 - \left|x\right|\right)}{6} - 2$$ Проверим наличие других решений, например, при $x = 1$:
$y = 2^1 + \frac{7 \cdot 1 \cdot (1 - 1)}{6} - 2 = 2 + 0 - 2 = 0$.
Проверим точку $(1; 0)$ по второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$. Равенство верно.
Так как при $a = 13$ система имеет как минимум решения $(0; -1)$, $(1; 0)$ и (в силу четности) $(-1; 0)$, условие единственности не выполняется.
Таким образом, подходит только $a = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ