Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} 3 \cdot 2^{\left|x\right|} + 5 \left|x\right| + 4 = 3 y + 5 x^{2} + 3 a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Изучим свойства первого уравнения. Пусть $f(x, y) = 3 \cdot 2^{\left|x\right|} + 5 \left|x\right| + 4 - 3 y - 5 x^{2} - 3 a$.
Заметим, что переменная $x$ входит в уравнение только под знаком модуля или в четной степени, так как $x^2 = |x|^2$. Следовательно, замена $x$ на $-x$ не меняет вид уравнения:
$f(-x, y) = 3 \cdot 2^{\left|-x\right|} + 5 \left|-x\right| + 4 - 3 y - 5 (-x)^{2} - 3 a = f(x, y)$.
Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0; y_0)$ также будет её решением. Для того чтобы решение было единственным, необходимо выполнение условия $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в систему, чтобы найти возможные значения параметра $a$:
$\left\{\begin{matrix} 3 \cdot 2^{0} + 5 \cdot 0 + 4 = 3 y + 5 \cdot 0 + 3 a \\ 0^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Из второго уравнения получаем $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Упростим первое уравнение: $3 + 4 = 3y + 3a$, то есть $7 = 3y + 3a$.
Рассмотрим два случая:
1) Если $y = 1$, то $7 = 3 + 3a$, откуда $3a = 4$, то есть $a = \frac{4}{3}$. Получаем потенциальное решение $(0; 1)$.
2) Если $y = -1$, то $7 = -3 + 3a$, откуда $3a = 10$, то есть $a = \frac{10}{3}$. Получаем потенциальное решение $(0; -1)$.

Выполним проверку найденных значений $a$ на единственность решения.
Пусть $a = \frac{4}{3}$. Система принимает вид:
$\left\{\begin{matrix} 3 \cdot 2^{\left|x\right|} + 5 \left|x\right| + 4 = 3 y + 5 x^{2} + 4 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Из второго уравнения следует, что $x^2 \leq 1$ и $y^2 \leq 1$, то есть $|x| \leq 1$ и $|y| \leq 1$.
Выразим $y$ из первого уравнения:
$3y = 3 \cdot 2^{\left|x\right|} + 5|x| - 5x^2$
$y = 2^{\left|x\right|} + \frac{5|x|(1 - |x|)}{3}$
Так как $|x| \geq 0$, то $2^{|x|} \geq 1$. Учитывая, что $|x| \leq 1$, выражение $1 - |x|$ неотрицательно, значит, $\frac{5|x|(1 - |x|)}{3} \geq 0$.
Следовательно, $y \geq 1$. Но так как по условию $y \leq 1$, единственным возможным значением является $y = 1$.
При $y = 1$ из уравнения окружности получаем $x^2 + 1 = 1$, то есть $x = 0$. Решение $(0; 1)$ единственно.

Проверим $a = \frac{10}{3}$. Система выглядит так:
$\left\{\begin{matrix} 3 \cdot 2^{\left|x\right|} + 5 \left|x\right| + 4 = 3 y + 5 x^{2} + 10 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Выразим $y$: $y = 2^{\left|x\right|} - 2 + \frac{5|x|(1 - |x|)}{3}$.
Проверим наличие других решений, например, при $x = 1$:
$y = 2^1 - 2 + \frac{5 \cdot 1 \cdot (1 - 1)}{3} = 0$.
Проверим точку $(1; 0)$ по второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$, что верно.
Поскольку при $a = \frac{10}{3}$ нашлись решения $(0; -1)$, $(1; 0)$ и (в силу четности) $(-1; 0)$, условие единственности не выполняется.
Таким образом, единственное решение достигается только при $a = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

Источник: ФИПИ