Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} - a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Проанализируем первое уравнение системы. Заметим, что переменная $x$ входит в него только в составе выражений $|x|$ и $x^2$. Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0; y_0)$ также будет решением в силу чётности функций по $x$.
Для того чтобы решение системы было единственным, необходимо, чтобы выполнялось условие $x = -x$, то есть $x = 0$.
Подставим значение $x = 0$ в систему, чтобы найти потенциальные значения параметра $a$: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{0} + 6 \cdot 0 + 7 = 5 y + 6 \cdot 0 - a \\ 0^2 + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения получаем: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Теперь подставим эти значения $y$ в упрощенное первое уравнение $12 = 5y - a$:
1) Если $y = 1$, то $12 = 5 - a$, откуда $a = -7$. Получаем точку $(0; 1)$.
2) Если $y = -1$, то $12 = -5 - a$, откуда $a = -17$. Получаем точку $(0; -1)$.

Необходимо проверить найденные значения параметра на единственность решения.
Случай $a = -7$:
Система принимает вид: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} + 7 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения следует, что $x^2 \leq 1$ и $y^2 \leq 1$, то есть $x \in [-1; 1]$ и $y \in [-1; 1]$.
Выразим $y$ из первого уравнения: $$5y = 5 \cdot 2^{|x|} + 6|x| - 6x^2$$ $$y = 2^{|x|} + \frac{6|x|(1 - |x|)}{5}$$ Так как $|x| \geq 0$, то $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$. Учитывая, что $|x| \leq 1$, выражение $(1 - |x|)$ неотрицательно, а значит, и вся дробь $\frac{6|x|(1 - |x|)}{5} \geq 0$.
Следовательно, $y \geq 1$. Но из второго уравнения мы знаем, что $y \leq 1$. Значит, единственно возможное значение $y = 1$.
При $y = 1$ из уравнения окружности получаем $x^2 + 1 = 1$, то есть $x = 0$. Решение $(0; 1)$ действительно единственное.

Случай $a = -17$:
Система выглядит так: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} + 17 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Выразим $y$: $$y = 2^{|x|} + \frac{6|x| - 6x^2}{5} - 2$$ Проверим наличие других решений, например, при $x = 1$: $$y = 2^1 + \frac{6 - 6}{5} - 2 = 0$$ Пара $(1; 0)$ удовлетворяет второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$. Таким образом, кроме точки $(0; -1)$ есть и другие решения (в силу чётности также и $(-1; 0)$), значит, условие единственности не выполняется.
Единственным подходящим значением является $a = -7$.

Ответ: -7

Источник: ФИПИ