Задание №18 — Системы с параметром

Решение:
Проанализируем первое уравнение системы: $|x - a| + |y| = 2$.
Данное уравнение задает на координатной плоскости квадрат (ромб) с центром в точке $(a; 0)$ и диагоналями, равными 4. Раскроем модули в зависимости от знаков выражений:
1) Если $x \geq a, y \geq 0$, то $x - a + y = 2 \Rightarrow y = -x + a + 2$;
2) Если $x < a, y \geq 0$, то $-(x - a) + y = 2 \Rightarrow y = x - a + 2$;
3) Если $x < a, y < 0$, то $-(x - a) - y = 2 \Rightarrow y = -x + a - 2$;
4) Если $x \geq a, y < 0$, то $x - a - y = 2 \Rightarrow y = x - a - 2$.
Геометрически это выглядит следующим образом:

При изменении параметра $a$ этот квадрат смещается вдоль оси $Ox$: вправо при $a > 0$ и влево при $a < 0$.
Второе уравнение $y = \sqrt{4 - x^2}$ равносильно системе: $$\begin{cases} y \geq 0 \\ y^2 + x^2 = 4 \end{cases}$$ Это верхняя полуокружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 2$.

Система будет иметь ровно одно решение в следующих случаях:
1) Крайнее левое положение: квадрат касается полуокружности своей правой вершиной в точке $(-2; 0)$.
Подставим координаты точки в уравнение стороны (2): $0 = -2 - a + 2$, откуда $a = -4$.
2) При дальнейшем движении вправо ($a > -4$) возникнут две точки пересечения, пока не произойдет касание стороны квадрата с дугой окружности.
3) Аналогичная ситуация симметрично наблюдается с правой стороны.
4) Крайнее правое положение: левая вершина квадрата касается точки $(2; 0)$.
Используем уравнение стороны (1): $0 = -2 + a + 2$, что дает $a = 4$ (или для стороны (2): $0 = 2 - a + 2 \Rightarrow a = 4$).

Найдем значения параметра, соответствующие моментам касания сторон квадрата и полуокружности.
Для левой стороны (случай 2): $\begin{cases} y = x - a + 2 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ в уравнение окружности:
$x^2 + (x - a + 2)^2 = 4$
$x^2 + x^2 + a^2 + 4 - 2ax + 4x - 4a = 4$
$2x^2 + x(4 - 2a) + a^2 - 4a = 0$
Для единственности решения дискриминант должен быть равен нулю:
$D = (4 - 2a)^2 - 8(a^2 - 4a) = 16 - 16a + 4a^2 - 8a^2 + 32a = -4a^2 + 16a + 16$
$-4a^2 + 16a + 16 = 0 \Rightarrow a^2 - 4a - 4 = 0$
Корни уравнения: $a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
Так как нас интересует касание именно с верхней полуокружностью при отрицательных $a$, выбираем $a = 2 - 2\sqrt{2}$.

Для правой стороны (случай 3): $\begin{cases} y = -x + a + 2 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$
Аналогично подставляем $y$:
$x^2 + (-x + a + 2)^2 = 4$
$2x^2 - x(4 + 2a) + a^2 + 4a = 0$
$D = (4 + 2a)^2 - 8(a^2 + 4a) = 16 + 16a + 4a^2 - 8a^2 - 32a = -4a^2 - 16a + 16$
Условие $D = 0$ дает $a^2 + 4a - 4 = 0$.
Корни: $a = -2 \pm 2\sqrt{2}$. Подходит значение $a = -2 + 2\sqrt{2}$.

Объединяя результаты, получаем, что одно решение будет при $a \in [-4; 2 - 2\sqrt{2})$ и при $a \in (-2 + 2\sqrt{2}; 4]$.

Ответ: $a \in [ - 4 ; 2 - 2 \sqrt{2} ) \cup ( - 2 + 2 \sqrt{2} ; 4 ]$

Источник: ФИПИ