Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Согласно условию, точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CB$ соответственно. Отсюда следует, что отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, и, значит, $MN \parallel AC$.
Обозначим $\angle CAL = \angle LAB = \alpha$. Так как $ML \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $AL$ равны: $\angle CAL = \angle MLA = \alpha$.
В треугольнике $AML$ углы при основании равны ($\angle MAL = \angle MLA$), следовательно, он равнобедренный: $AM = ML$. Учитывая, что $M$ — середина $AB$, получаем $AM = ML = MB$.
Так как медиана $ML$ в треугольнике $ABL$ равна половине стороны, к которой она проведена ($ML = \frac{1}{2} AB$), то этот треугольник прямоугольный: $\angle ALB = 90^{\circ}$.
Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AL$ и $CB$.
Сравним треугольники $AKC$ и $BKL$:
У них $\angle ACB = \angle BLA = 90^{\circ}$, а углы при вершине $K$ равны как вертикальные ($\angle AKC = \angle BKL$).
Следовательно, $\Delta AKC \sim \Delta BKL$, откуда получаем равенство углов $\angle CAK = \angle KBL = \alpha$.
Поскольку $MN \parallel AC$ и $AC \bot CB$, то $MN \bot CB$.
В треугольнике $CLB$ отрезок $NL$ выступает одновременно высотой и медианой, что делает треугольник равнобедренным. Тогда $\angle CBL = \angle BCL = \alpha$.
Таким образом, $\Delta AML \sim \Delta BLC$ по двум углам:
$\angle MAL = \angle MLA = \angle CBL = \angle BCL = \alpha$.
б) По условию задачи $\cos \angle BAC = \frac{1}{9}$, то есть $\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Подставим значение: $\frac{1}{9} = 1 - 2\sin^2 \alpha \Rightarrow 2\sin^2 \alpha = \frac{8}{9} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{4}{9}$. Отсюда $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.
Из прямоугольного треугольника $ABL$ имеем $\sin \alpha = \frac{BL}{AB} = \frac{2}{3}$.
Используя подобие $\Delta AML \sim \Delta BLC$, установленное в пункте а), запишем отношение соответственных сторон: $\frac{AM}{BL} = \frac{ML}{LC} = \frac{AL}{BC}$.
Заметим, что $AB = 2AM$, тогда $\frac{BL}{2AM} = \frac{2}{3}$, откуда $\frac{BL}{AM} = \frac{4}{3}$.
Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников $k = \frac{AM}{BL} = \frac{3}{4}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{9}{16}$

Источник: ФИПИ