Решение:

а) Согласно условию, точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Отсюда следует, что отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Это дает нам два факта: $MN \parallel AB$ и $MN = \frac{1}{2} AB$.
Обозначим длину отрезка $BK$ через $x$. Тогда, исходя из отношения $BK:KC = 1:3$, получаем $KC = 3x$, а вся сторона $BC = 4x$. Так как $N$ — середина $BC$, то $BN = NC = 2x$. Следовательно, $KN = BN - BK = 2x - x = x$.
Учитывая, что $MN \parallel AB$ и $AB \bot BC$, заключаем, что $MN \bot BC$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABN$ и $MNK$: в них $\angle ABN = \angle MNK = 90^{\circ}$. Заметим, что $MN = \frac{1}{2} AB$ и $KN = x = \frac{1}{2} (2x) = \frac{1}{2} BN$.
Таким образом, $\Delta ABN \sim \Delta MNK$ по двум пропорциональным катетам. Из подобия следует: $\frac{AB}{MN} = \frac{BN}{NK} = \frac{AN}{MK} = 2$.
Из равенства $\frac{AN}{MK} = 2$ получаем, что $AN = 2 KM$, что и требовалось доказать.
б) Пусть прямая $BP$ пересекает $MN$ в точке $R$.
Отметим точку $Q$ — середину отрезка $NC$. Тогда $NQ = QC = x$. Заметим, что $KN = NQ = x$.
В треугольнике $ACN$ отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AC$ и $NC$, значит, $MQ$ — средняя линия. Отсюда $MQ \parallel AN$ и $MQ = \frac{1}{2} AN$.
Найдем гипотенузу $AN$ в $\triangle ABN$ по теореме Пифагора: $AN = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2 \sqrt{41}$.
Тогда $MQ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{41} = \sqrt{41}$.
Поскольку $AB = 10$ и $BC = 16$, имеем $4x = 16$, откуда $x = 4$.
В треугольнике $KMQ$ точка $N$ является серединой основания $KQ$ (так как $KN = NQ$).
Поскольку $P$ лежит на $AN$, а $AN \parallel MQ$, то $PN \parallel MQ$. По теореме Фалеса для угла $MKQ$ получаем, что $P$ — середина $KM$, а $NP$ — средняя линия $\Delta KMQ$.
Следовательно, $NP = \frac{1}{2} MQ = \frac{\sqrt{41}}{2}$.
Из пункта а) мы знаем, что $KM = \frac{1}{2} AN = \sqrt{41}$.
Рассмотрим пары углов при параллельных прямых $MN$ и $AB$:
$\angle PAN = \angle PNR$ и $\angle PBA = \angle PRN$ как накрест лежащие.
Значит, $\Delta NPR \sim \Delta APB$ по двум углам.
Из подобия имеем: $\frac{NP}{AP} = \frac{PR}{PB} = \frac{NR}{AB}$.
Вычислим $AP = AN - PN = 2\sqrt{41} - \frac{\sqrt{41}}{2} = \frac{3\sqrt{41}}{2}$.
Тогда коэффициент подобия: $\frac{NP}{AP} = \frac{\sqrt{41}/2}{3\sqrt{41}/2} = \frac{1}{3}$.
Отсюда $AP = 3 NP$, $PB = 3 PR$ и $NR = \frac{1}{3} AB = \frac{10}{3}$.
Применим теорему Пифагора к $\Delta BRN$:
$BR^2 = BN^2 + NR^2 = 8^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 64 + \frac{100}{9} = \frac{576 + 100}{9} = \frac{676}{9}$.
Значит, $BR = \frac{26}{3}$.
Так как $PB = 3 PR$, то $BR = BP + PR = BP + \frac{1}{3} BP = \frac{4}{3} BP$.
Итого: $\frac{4}{3} BP = \frac{26}{3} \Rightarrow 4 BP = 26 \Rightarrow BP = 6,5$.

Ответ: $\frac{13}{2}$

Источник: ФИПИ