Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Исходя из того, что точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CB$ соответственно, отрезок $MN$ представляет собой среднюю линию треугольника $ABC$. Отсюда следует параллельность прямых: $MN \parallel AC$.
Обозначим величину угла $\angle CAL = \angle LAB$ как $\alpha$. Поскольку $ML \parallel AC$, накрест лежащие углы при секущей $AL$ равны, то есть $\angle CAL = \angle MLA = \alpha$.
В треугольнике $AML$ углы при основании равны ($\angle MAL = \angle MLA$), что делает его равнобедренным. Значит, $AM = ML$. Учитывая, что $M$ — середина $AB$, получаем равенство $AM = ML = MB$.
Так как медиана $ML$ в треугольнике $ABL$ равна половине стороны, к которой она проведена ($ML = \frac{1}{2} AB$), данный треугольник является прямоугольным с прямым углом $\angle ALB = 90^{\circ}$.
Пусть точка $K$ — это точка пересечения прямых $AL$ и $CB$.
Проанализируем подобие треугольников $AKC$ и $BKL$:
У них есть прямые углы $\angle ACB = \angle BLA = 90^{\circ}$, а углы при вершине $K$ равны как вертикальные ($\angle AKC = \angle BKL$).
Следовательно, $\Delta AKC \sim \Delta BKL$, откуда вытекает равенство углов $\angle CAK = \angle KBL = \alpha$.
Так как $MN \parallel AC$ и $AC \bot CB$, то прямая $MN$ перпендикулярна $CB$.
В треугольнике $CLB$ отрезок $NL$ одновременно является и высотой, и медианой. Это доказывает, что $\Delta CLB$ равнобедренный, и углы при его основании равны: $\angle CBL = \angle BCL = \alpha$.
Таким образом, треугольники $AML$ и $BLC$ подобны по первому признаку (по двум углам), так как $\angle MAL = \angle MLA = \angle CBL = \angle BCL = \alpha$.
б) Согласно условию, $\cos \angle BAC = \frac{7}{25}$, что эквивалентно $\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством для косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Подставим значение: $\frac{7}{25} = 1 - 2\sin^2 \alpha$, откуда $2\sin^2 \alpha = \frac{18}{25}$. Получаем $\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$, следовательно, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.
Из прямоугольного треугольника $ABL$ имеем: $\sin \alpha = \frac{BL}{AB} = \frac{3}{5}$.
Используя подобие $\Delta AML \sim \Delta BLC$, установленное в пункте а), запишем отношение соответствующих сторон: $\frac{AM}{BL} = \frac{ML}{LC} = \frac{AL}{BC}$.
Заметим, что $AB = 2AM$. Тогда отношение $\frac{BL}{AM} = \frac{BL}{\frac{1}{2}AB} = 2 \cdot \frac{BL}{AB} = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$.
Следовательно, коэффициент подобия $k$ для пары треугольников $AML$ и $BLC$ равен $\frac{AM}{BL} = \frac{5}{6}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = k^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.

Ответ: $\frac{25}{36}$

Источник: ФИПИ