Задание №13 — Кредиты

Решение:
Обозначим сумму кредита через $S = 4{,}2$ млн рублей. Срок кредитования составляет $n = 5$ лет. Процентная ставка равна $r \%$ годовых, тогда повышающий коэффициент запишется как $k = 1 + \frac{r}{100}.$ Согласно условию, в течение первых трех лет заемщик выплачивает только начисленные проценты, а в последние два года (2030 и 2031) вносятся одинаковые платежи, которые мы обозначим через $x.$
Отразим динамику задолженности в таблице:

Так как к концу 2031 года долг должен быть полностью погашен, составим уравнение на основе последней строки таблицы:
$$(Sk - x)k - x = 0$$ $$Sk^2 - xk - x = 0$$ $$Sk^2 - x(k + 1) = 0$$ Выразим величину аннуитетного платежа $x$:
$$x = \frac{Sk^2}{k + 1}$$ Известно, что совокупный объем всех выплат за 5 лет составил $6{,}1$ млн рублей. Получаем:
$$3 \cdot (S(k - 1)) + 2x = 6{,}1$$ Подставим выражение для $x$ и значение $S$:
$$3S(k - 1) + \frac{2Sk^2}{k + 1} = 6{,}1$$ $$12{,}6(k - 1) + \frac{8{,}4k^2}{k + 1} = 6{,}1$$ Приведем уравнение к общему знаменателю и избавимся от дроби:
$$12{,}6(k - 1)(k + 1) + 8{,}4k^2 = 6{,}1(k + 1)$$ $$12{,}6(k^2 - 1) + 8{,}4k^2 = 6{,}1k + 6{,}1$$ $$12{,}6k^2 - 12{,}6 + 8{,}4k^2 - 6{,}1k - 6{,}1 = 0$$ $$21k^2 - 6{,}1k - 18{,}7 = 0$$ Для удобства расчетов умножим все коэффициенты на 10:
$$210k^2 - 61k - 187 = 0$$ Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$$D = (-61)^2 - 4 \cdot 210 \cdot (-187) = 3721 + 157080 = 160801 = 401^2$$ Вычислим корни уравнения:
$$k = \frac{61 \pm 401}{420}$$ Так как коэффициент $k$ должен быть положительным, выбираем:
$$k = \frac{61 + 401}{420} = \frac{462}{420} = 1{,}1$$ Зная $k$, найдем процентную ставку $r$:
$$1 + \frac{r}{100} = 1{,}1 \implies \frac{r}{100} = 0{,}1 \implies r = 10$$

Ответ: 10

Источник: ФИПИ