Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{9}{\log _{3} x} - \log _{3} \left(\frac{9}{x}\right) \leq \frac{34}{\log _{3} x^{2}}$.
Для начала определим область допустимых значений переменной $x$:
$\begin{cases} \log _{3} x \neq 0 \\ x > 0 \\ \frac{9}{x} > 0 \\ x \neq 0 \\ \log _{3} x^{2} \neq 0 \\ x^{2} > 0 \end{cases}$
Решая данную систему, получаем условия:
$\begin{cases} x \neq 1 \\ x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
$\frac{9}{\log _{3} x} - (\log _{3} 9 - \log _{3} x) \leq \frac{34}{2 \log _{3} x}$.
Упростим: $\frac{9}{\log _{3} x} - (2 - \log _{3} x) \leq \frac{17}{\log _{3} x}$.
Введем новую переменную, пусть $t = \log _{3} x$. Тогда неравенство примет вид:
$\frac{9}{t} - 2 + t \leq \frac{17}{t}$
Перенесем всё в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^2 - 2t - 8}{t} \leq 0$
Разложим числитель на множители:
$\frac{(t + 2)(t - 4)}{t} \leq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем два промежутка для $t$:
$\left[\begin{matrix} t \leq -2 \\ 0 < t \leq 4 \end{matrix}\right.$
Вернемся к переменной $x$, выполнив обратную подстановку:
$\left[\begin{matrix} \log _{3} x \leq -2 \\ 0 < \log _{3} x \leq 4 \end{matrix}\right.$
Так как основание логарифма $3 > 1$, знаки неравенств сохраняются:
$\left[\begin{matrix} x \leq 3^{-2} \\ 3^0 < x \leq 3^4 \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{9} \\ 1 < x \leq 81 \end{matrix}\right.$
Визуализируем решение на числовой прямой:

Теперь сопоставим полученные интервалы с областью допустимых значений ($x > 0, x \neq 1$):

Итоговое множество решений: $x \in (0; \frac{1}{9}] \cup (1; 81]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{9}] \cup (1; 81]$

Источник: ФИПИ