Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log _{x + 1} \left(x^{2} - 5 x + 7\right) \leq \log _{x + 1} x$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание — положительным и отличным от единицы:
$$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \\ x^{2} - 5 x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$$
Решим полученную систему:
1) Из первого и второго условий: $x > -1$ и $x \neq 0$.
2) Квадратный трёхчлен $x^2 - 5x + 7$ имеет отрицательный дискриминант ($D = 25 - 28 = -3$), а значит, выражение всегда положительно при любых $x$.
3) Последнее условие: $x > 0$.
Объединяя все ограничения, получаем область определения: $x > 0$.
Заметим, что при $x > 0$ основание логарифма $x + 1$ всегда больше единицы. Следовательно, при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$x^{2} - 5 x + 7 \leq x$
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:
$x^{2} - 6 x + 7 \leq 0$
Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^{2} - 6 x + 7 = 0$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x_1 = 3 - \sqrt{2}, \quad x_2 = 3 + \sqrt{2}$
Решим неравенство методом интервалов:

Решением квадратичного неравенства является отрезок $\left[3 - \sqrt{2} ; 3 + \sqrt{2}\right]$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$) и тот факт, что $3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1,41 = 1,59 > 0$, всё найденное множество значений входит в ответ.

Ответ: $\left[3 - \sqrt{2} ; 3 + \sqrt{2}\right]$

Источник: ФИПИ