Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\left(\log _{36} x + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{\log _{36} x} + 1\right) \leq \log _{36} x$.
Прежде всего определим область допустимых значений переменной $x$:
$\begin{cases} x > 0 \\ \log _{36} x \neq 0 \end{cases}$
Отсюда следует, что $x > 0$ и $x \neq 1$, то есть область определения: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $\log _{36} x = t$. Тогда неравенство примет вид:
$(t + 1) \left(\frac{1}{t} + 1\right) \leq t$
Раскроем скобки в левой части выражения:
$t \cdot \frac{1}{t} + t \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{t} + 1 \cdot 1 \leq t$
$1 + t + \frac{1}{t} + 1 \leq t$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$2 + \frac{1}{t} \leq 0$
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{2t + 1}{t} \leq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Согласно схеме, решением для $t$ является промежуток: $t \in [ - \frac{1}{2} ; 0 )$.
Выполним обратный переход к переменной $x$:
$- \frac{1}{2} \leq \log _{36} x < 0$
Используя определение логарифма и учитывая, что основание $36 > 1$, получаем:
$36^{- \frac{1}{2}} \leq x < 36^0$
$\frac{1}{\sqrt{36}} \leq x < 1$
$\frac{1}{6} \leq x < 1$
Таким образом, $x \in [ \frac{1}{6} ; 1 )$.

Ответ: $[ \frac{1}{6} ; 1 )$

Источник: ФИПИ