Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{4}{\log _{2} x} - \log _{2} \left(\frac{4}{x}\right) \leq \frac{38}{\log _{2} x^{2}}$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x > 0 \\ \log_{2} x \neq 0 \\ \frac{4}{x} > 0 \\ x^{2} > 0 \\ \log_{2} x^{2} \neq 0 \end{cases}$
Решая данную систему, получаем условия на переменную:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end{cases}$
Таким образом, $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
$\frac{4}{\log _{2} x} - (\log _{2} 4 - \log _{2} x) \leq \frac{38}{2 \log _{2} x}$.
Введем новую переменную, пусть $\log _{2} x = t$. Тогда неравенство примет вид:
$\frac{4}{t} - (2 - t) \leq \frac{19}{t}$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{t} - 2 + t - \frac{19}{t} \leq 0$
$\frac{t^2 - 2t - 15}{t} \leq 0$
Разложим числитель на множители:
$\frac{(t + 3)(t - 5)}{t} \leq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Следовательно, переменная $t$ должна принадлежать промежуткам: $t \in (-\infty; -3] \cup (0; 5]$.
Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
$\left[\begin{matrix} \log _{2} x \leq -3 \\ 0 < \log _{2} x \leq 5 \end{matrix}\right.$
Переходя к потенцированию, получаем:
$\left[\begin{matrix} x \leq 2^{-3} \\ 2^0 < x \leq 2^5 \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{8} \\ 1 < x \leq 32 \end{matrix}\right.$

Теперь сопоставим полученные результаты с ранее найденными ограничениями (ОДЗ):

Итоговое множество решений: $x \in (0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$

Источник: ФИПИ