Решение:

а) Соединим вершины $A$ и $K$. В плоскости верхней грани через точку $K$ проведём прямую, параллельную ребру $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $C_1B_1$ в точке $L$. Таким образом, искомым сечением является четырёхугольник $AKLC$.
Поскольку $K$ — середина $A_1B_1$ по условию, а отрезок $KL$ параллелен $A_1C_1$ (так как $KL \parallel AC$ и $AC \parallel A_1C_1$), то согласно теореме Фалеса точка $L$ является серединой ребра $C_1B_1$.
Данная призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, значит, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники.
Отсюда следует, что $A_1B_1 = C_1B_1$, а значит, их половины равны: $A_1K = C_1L$. Учитывая равенство боковых рёбер $A_1A = C_1C$, получаем, что прямоугольные треугольники $A_1KA$ и $C_1LC$ равны по двум катетам.
Из равенства треугольников следует $AK = CL$. Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, поэтому $KL = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} AC$.
Так как боковые стороны $AK$ и $CL$ равны, а основания $KL$ и $AC$ параллельны и не равны, $AKLC$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
б) В основании $ABC$ проведём высоту $BH$. В силу правильности треугольника $ABC$, $BH$ также будет медианой и биссектрисой.
Пусть $M$ — середина верхнего основания трапеции $KL$, а $H$ — середина нижнего основания $AC$.
В равнобедренной трапеции отрезок $MH$, соединяющий середины оснований, перпендикулярен им: $MH \perp AC$.
Плоскости $(ACK)$ и $(BHM)$ пересекаются по прямой $HM$. Следовательно, искомое расстояние от точки $B$ до плоскости сечения — это длина перпендикуляра $BN$, опущенного из $B$ на прямую $HM$.
Рассмотрим треугольник $ABC$: так как $H$ — середина $AC$, то $HA = HC = \frac{1}{2} AC = 2$, при этом $CB = AB = 4$.
По теореме Пифагора находим высоту основания: $HB = \sqrt{CB^2 - HC^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Из прямоугольного треугольника $C_1LC$ по теореме Пифагора вычислим $CL$: $CL = \sqrt{C_1L^2 + CC_1^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Проанализируем трапецию $AKLC$:

Основания равны $KL = 2$ и $AC = 4$.
Опустим высоты $LL_1$ и $KK_1$ на основание $AC$. Четырёхугольник $KLL_1K_1$ является прямоугольником, поэтому $K_1L_1 = KL = 2$.
В треугольнике $AKK_1$: отрезок $AK_1 = \frac{AC - KL}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$.
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции: $KK_1 = \sqrt{AK^2 - AK_1^2} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19}$.
Таким образом, $MH = KK_1 = \sqrt{19}$.
Рассмотрим сечение $HMB_1B$:

В треугольнике $KB_1L$ точка $M$ — середина $KL$. Заметим, что $KB_1 = LB_1 = 2$ и $KL = 2$, то есть треугольник равносторонний.
Его высота $MB_1 = \sqrt{KB_1^2 - KM^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.
Пусть $M_1$ — проекция точки $M$ на прямую $HB$. Тогда $MB_1BM_1$ — прямоугольник, откуда $M_1B = MB_1 = \sqrt{3}$ и $MM_1 = BB_1 = 4$.
Тогда $HM_1 = HB - M_1B = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Проверим значение $HM$ через треугольник $HMM_1$: $HM = \sqrt{MM_1^2 + HM_1^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$. Это совпадает с ранее найденным значением.
Найдём синус угла $MHM_1$: $\sin(\angle MHM_1) = \frac{MM_1}{HM} = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Из прямоугольного треугольника $NHB$ имеем: $\sin(\angle NHB) = \frac{NB}{HB}$.
Так как углы $MHM_1$ и $NHB$ совпадают, получаем уравнение:
$\frac{NB}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Отсюда $NB = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{8\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{8 \sqrt{57}}{19}$

Источник: ФИПИ