Решение:

а) Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$. В её верхнем основании лежит равносторонний треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$. Проведём в нём высоту $C_{1}K$ к стороне $A_{1}B_{1}$. Так как треугольник правильный, высота $C_{1}K$ также является медианой и биссектрисой. Поскольку прямая $C_{1}K$ перпендикулярна прямой $A_{1}B_{1}$ и при этом $C_{1}K$ перпендикулярна боковому ребру $AA_{1}$ (так как ребро перпендикулярно плоскости основания), то прямая $C_{1}K$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(ABB_{1}A_{1})$. Любая плоскость, содержащая прямую, перпендикулярную другой плоскости, сама будет перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, плоскость $\alpha$, проходящая через $C_{1}K$ (то есть плоскость $MKC_{1}$), перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$, что и требовалось доказать.

б) Из доказанного выше следует, что $C_{1}K \perp (ABB_{1}A_{1})$. Так как прямая $MK$ лежит в плоскости боковой грани, то $C_{1}K \perp MK$. Таким образом, треугольник $MKC_{1}$ является прямоугольным. Заметим, что искомое расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости $\alpha$ (плоскости $MKC_{1}$) можно найти в плоскости боковой грани. Проведём высоту $A_{1}H$ в прямоугольном треугольнике $MA_{1}K$ к его гипотенузе $MK$. Отрезок $A_{1}H$ и будет являться искомым расстоянием, так как он перпендикулярен $MK$ по построению и перпендикулярен $C_{1}K$ (поскольку $C_{1}K$ перпендикулярна всей плоскости грани).
Вычислим необходимые длины сторон в $\Delta MA_{1}K$:
1) Точка $K$ — середина $A_{1}B_{1}$, значит, $A_{1}K = \frac{1}{2} A_{1}B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
2) По условию $M$ делит ребро $AA_{1}$ в отношении $3:1$ считая от точки $A$. Значит, отрезок $A_{1}M$ составляет $\frac{1}{4}$ от всей высоты призмы: $A_{1}M = \frac{1}{4} AA_{1} = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
Найдем гипотенузу $MK$ по теореме Пифагора:
$$MK = \sqrt{A_{1}K^2 + A_{1}M^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$
Высоту $A_{1}H$ прямоугольного треугольника $MA_{1}K$ найдем через его катеты и гипотенузу:
$$A_{1}H = \frac{A_{1}K \cdot A_{1}M}{MK} = \frac{8 \cdot 4}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}.$$

Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{5}$

Источник: ФИПИ