Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sin ^{2} x + \cos ^{2} \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$.
Для преобразования второго слагаемого применим формулу косинуса суммы двух углов:
$$\cos \left(\alpha + \beta\right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$
Раскроем выражение для аргумента $\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:
$\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x - \sin x)$.
Подставим полученный результат обратно в уравнение:
$\sin ^{2} x + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x - \sin x)\right)^{2} = \frac{1}{2}$
$\sin ^{2} x + \frac{1}{2} (\cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x + \sin ^{2} x) = \frac{1}{2}$
Умножим все части уравнения на $2$, чтобы избавиться от дробей:
$2 \sin ^{2} x + \cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x + \sin ^{2} x = 1$
Заменим единицу в правой части на основное тригонометрическое тождество $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x$:
$3 \sin ^{2} x + \cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x = \sin ^{2} x + \cos ^{2} x$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$2 \sin ^{2} x - 2 \sin x \cos x = 0$
Разложим левую часть на множители, вынося $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (\sin x - \cos x) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $\sin x = 0$, что дает нам серию решений $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x - \cos x = 0$. Разделив на $\cos x \neq 0$, приходим к уравнению $\operatorname{tg} x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\frac{13 \pi}{2} ; \frac{15 \pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = 7 \pi$,
$x_{2} = 7 \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{29 \pi}{4}$.

Ответ: а) $\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $7 \pi; \frac{29 \pi}{4}$

Источник: ФИПИ