Задание №13 — Смешанные прототипы

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} (\sin 2x) = \log _{2} (\sqrt{2} \cos x)$.
Для существования логарифмов необходимо выполнение условия:
$\sqrt{2} \cos x > 0$, что равносильно $\cos x > 0$.

Перейдем к равенству аргументов логарифмических функций:
$\sin 2x = \sqrt{2} \cos x$
Применим формулу синуса двойного угла и перенесем все слагаемые в левую часть:
$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$
Отсюда получаем две возможности:
1) $\cos x = 0$, тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Однако эти значения не удовлетворяют условию $\cos x > 0$.
2) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
Сопоставив полученные результаты с ограничением $\cos x > 0$, оставляем только серию:
$x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}.$
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$ с помощью единичной окружности.

Указанному отрезку принадлежит единственный корень:
$x_{1} = \frac{\pi}{4}.$

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{4}$

Источник: ФИПИ