Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Смешанные прототипы

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииОДЗ: аргумент логарифма и подкоренное выражениеПростейшие тригонометрические уравненияРазложение на множителиОтбор корней на отрезкеКомбинированные триг. уравнения

2 баллаФИПИСреднее#22336

а) Решите уравнение $\log _{2} \left(\sin 2 x\right) = \log _{2} \left(\sqrt{2} \cos x\right) .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежище отрезку $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} (\sin 2x) = \log _{2} (\sqrt{2} \cos x)$ .
Для существования логарифмов необходимо выполнение условия:
$\sqrt{2} \cos x > 0$ , что равносильно $\cos x > 0$ .

Перейдем к равенству аргументов логарифмических функций:
$\sin 2x = \sqrt{2} \cos x$
Применим формулу синуса двойного угла и перенесем все слагаемые в левую часть:
$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$
Отсюда получаем две возможности:
1) $\cos x = 0$ , тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ . Однако эти значения не удовлетворяют условию $\cos x > 0$ .
2) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Решениями этого уравнения являются:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
Сопоставив полученные результаты с ограничением $\cos x > 0$ , оставляем только серию:
$x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}.$
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$ с помощью единичной окружности.

Указанному отрезку принадлежит единственный корень:
$x_{1} = \frac{\pi}{4}.$

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{\pi}{4}$

Источник: ФИПИ