Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$y' = 2x + 3 - \frac{44}{x}$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$2x + 3 - \frac{44}{x} = 0$
Приведем уравнение к квадратному виду (учитывая, что $x \neq 0$):
$2x^2 + 3x - 44 = 0$
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-44) = 9 + 352 = 361 = 19^2$
Находим корни уравнения:
$x = \frac{-3 \pm 19}{4}$, откуда получаем два значения: $x_1 = -5{,}5$ и $x_2 = 4$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

Исходя из смены знаков производной, точка $x = -5{,}5$ является точкой максимума, а $x = 4$ — искомой точкой минимума.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ