Задание №8 — Преобразование и вычисление тригонометрических выражений

Разбор задачи:
Для нахождения значения тангенса воспользуемся связью тригонометрических функций. Сначала определим синус угла, применяя основное тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Выразим квадрат синуса через известный косинус:
$$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left( \frac{5 \sqrt{26}}{26} \right)^2 = 1 - \frac{25 \cdot 26}{676} = 1 - \frac{650}{676} = \frac{26}{676}.$$
Отсюда следует, что $\sin x = \pm\sqrt{\frac{26}{676}} = \pm\frac{\sqrt{26}}{26}$.
Учитывая, что по условию угол $x$ принадлежит первой или второй четверти ($x \in [0; \pi]$), синус в данном промежутке принимает только неотрицательные значения. Следовательно, $\sin x = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

Теперь вычислим тангенс как отношение синуса к косинусу:
$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5 \sqrt{26}}{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} \cdot \frac{26}{5 \sqrt{26}} = \frac{1}{5} = 0{,}2.$$

Ответ: 0,2

Источник: ФИПИ