Решение:
1) Введем новую переменную $t = x + \frac{9}{x}$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$: $at^{2} - 2t - 49a + 14 = 0$.
Исследуем функцию $t(x) = x + \frac{9}{x}$:
Для положительных $x > 0$, согласно неравенству о средних, $t \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$, причем минимум $t = 6$ достигается в точке $x = 3$.
Для отрицательных $x < 0$, аналогично, $t \leq -6$, причем максимум $t = -6$ достигается в точке $x = -3$.
Таким образом, область допустимых значений переменной $t$ представляет собой объединение лучей: $t \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.
2) Связь между $x$ и $t$ выражается уравнением $x^2 - tx + 9 = 0$.
Его дискриминант равен $D = t^2 - 36$.
Отсюда следует:
— если $|t| > 6$, то уравнение имеет два различных действительных корня $x$;
— если $t = 6$ или $t = -6$, то уравнение имеет ровно один корень $x$;
— если $|t| < 6$, то действительных корней $x$ нет.
3) Перейдем к решению уравнения $at^2 - 2t - 49a + 14 = 0$.
Рассмотрим случай $a = 0$: уравнение становится линейным $-2t + 14 = 0$, откуда $t = 7$. Поскольку $7 \in [6; +\infty)$, это значение дает два различных корня $x$.
Если $a \neq 0$, найдем корни через дискриминант:
$D = 4 - 4a(-49a + 14) = 4(49a^2 - 14a + 1) = 4(7a - 1)^2 = (2|7a - 1|)^2$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{2 \pm 2|7a - 1|}{2a} = \frac{1 \pm |7a - 1|}{a}$.
4) Раскрывая модуль, получаем два значения: $t_1 = 7$ и $t_2 = \frac{2 - 7a}{a}$.
5) Проверим, при каких $a$ корень $t_2$ попадает в область $|t| \geq 6$.
Для $a > 0$:
Условие $\frac{2 - 7a}{a} \geq 6$ выполняется при $a \leq \frac{2}{13}$.
Условие $\frac{2 - 7a}{a} \leq -6$ выполняется при $a \geq 2$.
Значит, при $a \in (0; \frac{2}{13}] \cup [2; +\infty)$ корень $t_2$ дает хотя бы один корень $x$.
Для $a < 0$:
Неравенство $\frac{2 - 7a}{a} \geq 6$ не имеет решений.
Неравенство $\frac{2 - 7a}{a} \leq -6$ выполняется для всех $a < 0$.
Следовательно, при $a < 0$ значение $t_2$ всегда меньше $-6$.
6) Корень $t_1 = 7$ всегда дает ровно два значения $x$.
Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, необходимо, чтобы второй корень $t_2$ либо совпадал с $t_1$, либо не давал новых корней $x$ (то есть $|t_2| < 6$).
7) Случай совпадения: $t_2 = 7 \Rightarrow \frac{2 - 7a}{a} = 7 \Rightarrow a = \frac{1}{7}$.
Случай отсутствия корней у $t_2$: $|t_2| < 6$.
Это условие $-6 < \frac{2 - 7a}{a} < 6$ при $a > 0$ приводит к интервалу $\frac{2}{13} < a < 2$.
При $a < 0$ условие $|t_2| < 6$ никогда не выполняется.
8) Объединяя найденные значения $a = 0$, $a = \frac{1}{7}$ и интервал $(\frac{2}{13}; 2)$, получаем искомое множество.

Ответ: $\{0\} \cup \{\frac{1}{7}\} \cup (\frac{2}{13}; 2)$

Источник: ФИПИ