Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых уравнение $\sin 3 x + a\sin x = 0$ не имеет решений на интервале $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right) .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Рассмотрим уравнение $\sin 3x + a\sin x = 0$ и определим значения параметра, при которых оно не имеет корней на интервале $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$ .
1) Воспользуемся тригонометрической формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ .
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$3\sin x - 4\sin^3 x + a\sin x = 0$ .
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x \cdot (3 - 4\sin^2 x + a) = 0$ .
Данное уравнение распадается на два случая:
а) $\sin x = 0$ . Решения вида $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ не попадают в заданный промежуток $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$ .
б) $3 + a - 4\sin^2 x = 0$ , что можно переписать как $\sin^2 x = \frac{3 + a}{4}$ .
Чтобы исходное уравнение не имело решений на интервале $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$ , необходимо, чтобы значения $\sin^2 x$ для этого интервала не совпадали с величиной $\frac{3 + a}{4}$ .
Определим границы для $\sin^2 x$ . Если $x \in \left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$ , то значение синуса лежит в пределах $0 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Следовательно, квадрат синуса принимает значения из диапазона:
$0 < \sin^2 x < \frac{1}{2}$ .
Уравнение будет иметь корни на указанном интервале, если выполняется условие:
$0 < \frac{3 + a}{4} < \frac{1}{2}$ .
Решим это двойное неравенство:
$0 < 3 + a < 2$ ,
$-3 < a < -1$ .
Таким образом, при $a \in (-3; -1)$ корни существуют. Следовательно, корней не будет при всех остальных значениях параметра $a$ , то есть когда $a \leq -3$ или $a \geq -1$ .

Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$

Источник: ФИПИ