Решение:
Рассмотрим уравнение $\sin 3x + a\sin x = 0$ и определим значения параметра, при которых оно не имеет корней на интервале $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$.
1) Воспользуемся тригонометрической формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$3\sin x - 4\sin^3 x + a\sin x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x \cdot (3 - 4\sin^2 x + a) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
а) $\sin x = 0$. Решения вида $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ не попадают в заданный промежуток $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$.
б) $3 + a - 4\sin^2 x = 0$, что можно переписать как $\sin^2 x = \frac{3 + a}{4}$.
Чтобы исходное уравнение не имело решений на интервале $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$, необходимо, чтобы значения $\sin^2 x$ для этого интервала не совпадали с величиной $\frac{3 + a}{4}$.
Определим границы для $\sin^2 x$. Если $x \in \left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$, то значение синуса лежит в пределах $0 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, квадрат синуса принимает значения из диапазона:
$0 < \sin^2 x < \frac{1}{2}$.
Уравнение будет иметь корни на указанном интервале, если выполняется условие:
$0 < \frac{3 + a}{4} < \frac{1}{2}$.
Решим это двойное неравенство:
$0 < 3 + a < 2$,
$-3 < a < -1$.
Таким образом, при $a \in (-3; -1)$ корни существуют. Следовательно, корней не будет при всех остальных значениях параметра $a$, то есть когда $a \leq -3$ или $a \geq -1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$

Источник: ФИПИ