Задание №18 — Уравнения с параметром

Решение:
1) Рассмотрим область допустимых значений и нули первого множителя $\ln(5x - 2)$.
Логарифм определен при $5x - 2 > 0$, то есть $x > 0{,}4$.
Множитель обращается в нуль, если $5x - 2 = 1$, откуда получаем корень $x = 0{,}6$.
2) Введем функцию $f(x) = x^2 - 2x + 2a - a^2$. Для того чтобы значение $x = 0{,}6$ являлось корнем уравнения, подкоренное выражение в этой точке должно быть неотрицательным:
$f(0{,}6) \geq 0 \Rightarrow 0{,}6^2 - 2 \cdot 0{,}6 + 2a - a^2 \geq 0$.
Решим неравенство $-a^2 + 2a - 0{,}84 \geq 0$, что эквивалентно $a^2 - 2a + 0{,}84 \leq 0$.
Находим дискриминант: $D = 4 - 3{,}36 = 0{,}64 = (0{,}8)^2$.
Корни квадратного трехчлена: $a = 1 \pm 0{,}4$. Следовательно, $a \in [0{,}6; 1{,}4]$.
3) Найдем корни второго множителя, приравняв подкоренное выражение к нулю:
$x^2 - 2x + 2a - a^2 = 0$.
Выделим полный квадрат: $(x - 1)^2 - 1 + 2a - a^2 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$.
Получаем уравнение $(x - 1)^2 = (a - 1)^2$, откуда следуют две прямые: $x = a$ и $x = 2 - a$.
4) Проанализируем количество решений в зависимости от параметра $a$:
Если $a < 0{,}6$, то значение $x = 0{,}6$ не является корнем, так как нарушается условие $f(0{,}6) \geq 0$.
В интервале $a \in [0{,}4; 0{,}6)$ корень $x = a$ попадает в область определения логарифма и лежит на отрезке $[0; 1]$. Если же $a < 0{,}4$, то $x = a \leq 0{,}4$, что противоречит ОДЗ первого множителя, и решений нет.
При $a \in [0{,}6; 1{,}4]$:
Число $x = 0{,}6$ является корнем уравнения.
Значение $x = a$ также будет корнем в этом диапазоне.
Значение $x = 2 - a$ становится корнем при $a \in [1; 1{,}4]$, так как попадает на отрезок $[0; 1]$.
Если $a > 1{,}4$:
Точка $x = 0{,}6$ перестает быть корнем.
Корень $x = a$ выходит за границы отрезка при $a > 1$.
Корень $x = 2 - a$ находится на заданном отрезке при $a \in [1; 2]$. С учетом ОДЗ логарифма ($2 - a > 0{,}4 \Rightarrow a < 1{,}6$), этот корень подходит при $a \in (1{,}4; 1{,}6)$.
5) Подведем итог для поиска значений $a$, при которых ровно один корень:
При $a \in [0{,}4; 0{,}6)$ имеем единственный корень $x = a$.
При $a = 0{,}6$ корни $x = a$ и $x = 0{,}6$ совпадают, давая одно решение.
При $a = 1{,}4$ корень $x = 0{,}6$ единственный (так как $x = a$ и $x = 2 - a$ выходят за границы или совпадают).
При $a \in (1{,}4; 1{,}6)$ единственным решением остается $x = 2 - a$.

Ответ: $a \in (0{,}4; 0{,}6] \cup [1{,}4; 1{,}6)$

Источник: ФИПИ