Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
1) Начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$-6x - x^2 > 0 \iff x(x + 6) < 0$.
Следовательно, переменная $x$ должна находиться в интервале: $x \in (-6; 0)$.

2) Уравнение распадается на два случая, когда один из множителей равен нулю:
Первый случай: $a - x - 4 = 0 \Rightarrow x = a - 4$.
Чтобы этот корень входил в ОДЗ, должно выполняться условие: $-6 < a - 4 < 0$.
Прибавляя 4 ко всем частям неравенства, получаем: $-2 < a < 4$.

Второй случай: $a^2 + x^2 - 10 = 0 \Rightarrow x^2 = 10 - a^2$.
Для существования действительных корней необходимо, чтобы $10 - a^2 \geq 0$, то есть $a \in [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$.
Так как по ОДЗ $x$ отрицателен, выбираем корень $x = -\sqrt{10 - a^2}$.
Проверим его вхождение в интервал $(-6; 0)$:
$-6 < -\sqrt{10 - a^2} < 0 \iff 0 < \sqrt{10 - a^2} < 6$.
Возводя в квадрат, имеем $10 - a^2 < 36$, что дает $a^2 > -26$. Это неравенство верно при любых допустимых $a$.
Заметим, что при $a = \pm\sqrt{10}$ получаем $x = 0$, что не входит в ОДЗ.

3) Найдем значения параметра, при которых корни от обоих множителей совпадают:
$a - 4 = -\sqrt{10 - a^2}$.
Возведем в квадрат: $a^2 - 8a + 16 = 10 - a^2$.
$2a^2 - 8a + 6 = 0 \iff a^2 - 4a + 3 = 0$.
Корни этого уравнения: $a = 1$ и $a = 3$. В этих точках два потенциальных решения сливаются в одно.

4) Проанализируем количество решений в зависимости от $a$:
- Если $a \in (-2; 4)$ и $a \neq 1, 3$, то уравнение имеет два различных корня: $x_1 = a - 4$ и $x_2 = -\sqrt{10 - a^2}$ (при условии $|a| < \sqrt{10}$).
- Если $|a| \geq \sqrt{10}$, то второй множитель не дает корней в ОДЗ.

5) Рассмотрим граничные случаи подробнее:
- При $\sqrt{10} \leq a < 4$ корень дает только первый множитель, значит, решение ровно одно.
- При $a \leq -2$ или $a \geq 4$ первый множитель не дает корней. Тогда единственное решение может прийти только от второго множителя при условии $|a| < \sqrt{10}$.

6) Итоговый анализ количества корней:
- $a < -\sqrt{10}$: решений нет.
- $a \in (-\sqrt{10}; -2]$: один корень (от второго множителя).
- $a \in (-2; 1)$: два корня.
- $a = 1$: один корень (совпадение).
- $a \in (1; 3)$: два корня.
- $a = 3$: один корень (совпадение).
- $a \in (3; \sqrt{10})$: два корня.
- $a = \sqrt{10}$: один корень (от первого множителя, так как $x=0$ не в ОДЗ).
- $a \in (\sqrt{10}; 4)$: один корень (от первого множителя).
- $a \geq 4$: решений нет.

Уравнение имеет хотя бы одно решение при $a \in (-\sqrt{10}; 4)$.

Ответ: $(-\sqrt{10}; 4)$

Источник: ФИПИ