Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
Раскроем скобки и упростим выражение, используя формулы приведения: $$2 + 2 \cos (\pi - 2x) + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ Так как $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$, уравнение принимает вид: $$2 - 2 \cos 2x + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$2 - 2(1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ $$2 - 2 + 4\sin^2 x + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их: $$4\sin^2 x + (\sqrt{8} - \sqrt{12})\sin x - \sqrt{6} = 0$$ Для удобства решения введем новую переменную $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение: $$4t^2 + (\sqrt{8} - \sqrt{12})t - \sqrt{6} = 0$$ Вынесем общие множители из коэффициентов: $$4t^2 - 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})t - \sqrt{6} = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (2(\sqrt{3} - \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{6}) = 4(3 - 2\sqrt{6} + 2) + 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}$$ Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $20 + 8\sqrt{6} = (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2$.
Вычислим корни уравнения для $t$: $$t_1 = \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$t_2 = \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{8} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Выполним обратную замену:
1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[3\pi; \frac{9\pi}{2}]$, с помощью числовой окружности:

Отбор дает следующие значения:
(1) $\frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}$
(2) $4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{4}$
(3) $4\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{3}$

Ответ: а) $\frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}; \frac{13\pi}{3}$

Источник: ФИПИ