Задание №13 — Логарифмические уравнения

Решение:
Для начала определим область допустимых значений. Заметим, что выражение под логарифмом $\cos x + \sin 2x + 25$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как минимальное значение суммы тригонометрических функций не превосходит по модулю 2, что в сумме с 25 дает результат больше нуля.
Перейдем к решению уравнения, используя определение логарифма:
$$\log_{5} (\cos x + \sin 2x + 25) = 2$$ $$\cos x + \sin 2x + 25 = 5^2$$ $$\cos x + \sin 2x + 25 = 25$$ $$\cos x + \sin 2x = 0$$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$$\cos x + 2 \sin x \cos x = 0$$ Вынесем общий множитель за скобки:
$$\cos x (1 + 2 \sin x) = 0$$ Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $1 + 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$. Это дает нам две группы решений:
$$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$
б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

На указанном интервале получаем следующие значения:
(1) Точка из первой серии: $2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$
(2) Точка из первой серии (правая граница): $3\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$
(3) Точка из второй серии: $2\pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}; \frac{19\pi}{6}$

Источник: ФИПИ