Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Логарифмические уравнения

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииОДЗ: аргумент логарифма и подкоренное выражениеПростейшие тригонометрические уравненияРазложение на множителиОтбор корней на отрезкеКомбинированные триг. уравнения

2 баллаФИПИЛёгкое#22363

а) Решите уравнение $\log _{5} \left(\cos x + \sin 2 x + 25\right) = 2 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Для начала определим область допустимых значений. Заметим, что выражение под логарифмом $\cos x + \sin 2x + 25$ всегда положительно для любого действительного $x$ , так как минимальное значение суммы тригонометрических функций не превосходит по модулю 2, что в сумме с 25 дает результат больше нуля.
Перейдем к решению уравнения, используя определение логарифма:
$\log_{5} (\cos x + \sin 2x + 25) = 2$ $\cos x + \sin 2x + 25 = 5^2$ $\cos x + \sin 2x + 25 = 25$ $\cos x + \sin 2x = 0$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ :
$\cos x + 2 \sin x \cos x = 0$ Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (1 + 2 \sin x) = 0$ Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$ , откуда получаем серию корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $1 + 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$ . Это дает нам две группы решений:
$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ .

На указанном интервале получаем следующие значения:
(1) Точка из первой серии: $2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$
(2) Точка из первой серии (правая граница): $3\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$
(3) Точка из второй серии: $2\pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}; \frac{19\pi}{6}$

Источник: ФИПИ