Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Системы с параметром

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} y = - \left|x - a\right| + 1 , \\ \left|y\right| + x^{2} + 2 x = 0 \end{matrix}\right.$
имеет ровно четыре различных решения.

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
$\left\{\begin{matrix} y = - \left|x - a\right| + 1 , \\ \left|y\right| = - + x^{2} - 2 x \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} y = - \left|x - a\right| + 1 \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}y \geq 0 \\ y = - x^{2} - 2 x\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}y < 0 \\ y = x^{2} + 2 x\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

$a \in \left(\left(3\right) ; \left(2\right)\right) \cup \left(\left(2\right) ; \left(1\right)\right)$
$x_{0} = \frac{- 2}{2} = - 1$
$- x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x_{1} = 0 ; x_{2} = - 2$
$y_{0} \left(1\right) = - 1 + 2 = + 1$
$x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$
$x^{2} + 2 x = 0 \Rightarrow x_{1} = 0 ; x_{2} = - 2$
$y_{0} \left(1\right) = 1 - 2 = - 1 .$
1) $y = - x + a + 1$
$y = - x^{2} - 2 x$
$- x^{2} - 2 x + x - a - 1 = 0$
$- x^{2} - x - a - 1 = 0$
$x^{2} + x + a + 1 = 0$
$D = 1 - 4 \left(a + 1\right) = 1 - 4 a - 4 = - 3 - 4 a$
$- 3 - 4 a = 0$
$a = - \frac{3}{4} .$
2) $a = 1 .$
3) $y = a - x + 1$
$y = x^{2} + 2 x$
$x^{2} + 2 x = a - x + 1 \Rightarrow$ $x^{2} + 3 x - a + 1 = 0$
$D = 9 - 4 \left(- a + 1\right) =$ $9 + 4 a - 4 = 5 + 4 a$
$5 + 4 a = 0$
$a = - \frac{5}{4} .$

Ответ: $a \in \left(- \frac{5}{4} ; 1\right) \cup \left(- 1 ; - \frac{3}{4}\right)$

Источник: ФИПИ