Решение:
Вспомним геометрический смысл производной: значение $f'(x)$ в конкретной точке совпадает с угловым коэффициентом касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Проанализируем положение заданных точек:

Во-первых, в точках $x = 3$ и $x = 4$ функция $f(x)$ возрастает. Это означает, что касательные в них наклонены под острым углом к оси абсцисс, а их угловые коэффициенты (и, соответственно, производные) принимают положительные значения.

Во-вторых, точки $x = -2$ и $x = -1$ расположены на участке убывания графика. Здесь касательные образуют тупой угол с положительным направлением оси $Ox$, поэтому значения производной в этих точках будут отрицательными.

Для определения наименьшего значения сравним производные в точках $x = -2$ и $x = -1$:
Визуально заметно, что в точке $x = -1$ график функции «падает» круче, чем в точке $x = -2$. Это означает, что наклон касательной в $x = -1$ более резкий, и её угловой коэффициент будет меньше (более глубокое отрицательное число). Таким образом, минимальное значение производная принимает именно при $x = -1$.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ