Решение:
Вспомним геометрический смысл производной: значение $f'(x)$ в конкретной точке совпадает с тангенсом угла наклона (угловым коэффициентом) касательной, проведённой к графику в этой точке. Проанализируем поведение функции в заданных точках:
1. В точках $x = -1$ и $x = 4$ график функции идёт вверх (функция возрастает). Это означает, что касательные в них образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а их угловые коэффициенты и, соответственно, производные — положительны.
2. В точках $x = 2$ и $x = 3$ график функции опускается (функция убывает). В этом случае касательные наклонены под тупым углом, а значения производной в данных точках будут отрицательными.
Теперь сравним положительные значения в точках $x = -1$ и $x = 4$:
Визуально заметно, что в точке $x = -1$ график функции «круче» устремлен вверх, чем в точке $x = 4$. Следовательно, касательная в $x = -1$ имеет больший коэффициент наклона. Из этого следует, что наибольшее значение производной достигается именно при $x = -1$.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ