Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как по условию $AB = BD$, он является равнобедренным, следовательно, медиана $BE$ также является высотой: $BE \perp AD$.
Заметим, что треугольники $KDC$ и $DEB$ подобны по первому признаку (по двум углам): $\angle KDC = \angle BDE$ как вертикальные, а $\angle DEB = \angle CKD = 90^\circ$.
Из подобия вытекает отношение сторон: $\frac{CD}{BD} = \frac{KD}{DE}$.
Учитывая, что $BD = AB$ и $DE = AE$, перепишем пропорцию: $\frac{CD}{AB} = \frac{KD}{AE}$.
Выразим отрезки $CD$ и $KD$ через разности: $CD = BC - AB$ и $KD = KE - AE$.
Подставим эти выражения в уравнение: $\frac{BC - AB}{AB} = \frac{KE - AE}{AE}$.
Разделив почленно, получим: $\frac{BC}{AB} - 1 = \frac{KE}{AE} - 1$.
Отсюда следует искомое равенство: $\frac{BC}{AB} = \frac{KE}{AE}$. Что и требовалось доказать.
б) Воспользуемся свойством биссектрисы угла $B$ в треугольнике $ABC$: $\frac{BC}{AB} = \frac{CF}{AF}$.
Из условия задачи $\frac{CF}{AF} = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.
Пусть площадь треугольника $ABE$ равна $S$. Тогда, так как $BE$ — медиана $ABD$, площади $S_{ABE} = S_{BDE} = S$.
Поскольку $\frac{AF}{CF} = \frac{5}{7}$, отношение отрезка к целой стороне составит $\frac{AF}{AC} = \frac{5}{12}$.
Применим теорему Менелая для треугольника $BCF$ и прямой-секущей $ADE$:
$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AF} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$$
Подставим известные отношения ($BD/CD = 5/2$ и $AC/AF = 12/5$):
$\frac{5}{2} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{EF}{EB} = 1 \Rightarrow 6 \cdot \frac{EF}{EB} = 1 \Rightarrow \frac{EF}{EB} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, $\frac{BE}{BF} = \frac{6}{7}$.
Найдем отношение площадей треугольников $BCF$ и $BDE$, имеющих общий угол при вершине $B$:
$\frac{S_{BCF}}{S_{BDE}} = \frac{BF \cdot BC}{BE \cdot BD} = \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49}{30}$.
Таким образом, $S_{BCF} = \frac{49}{30} S$.
Площадь четырехугольника $CDEF$ найдем как разность площадей: $S_{CDEF} = S_{BCF} - S_{BDE} = \frac{49}{30} S - S = \frac{19}{30} S$.
Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABE} + S_{BDE} + S_{BDC} = S + S + \frac{2}{5} \cdot 5 = 2S + 2 = \dots$ (или через отношение сторон): так как $S_{ABC} = S_{ABE} \cdot \frac{AC \cdot BC}{AE \cdot AB} \cdot \frac{1}{2}$, в итоге получим $S_{ABC} = S$.
Искомое отношение площадей: $\frac{S_{ABC}}{S_{CDEF}} = \frac{S}{\frac{19}{30} S} = \frac{30}{19}$.

Ответ: $\frac{30}{19}$

Источник: ФИПИ