Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a - y^{2}} = \sqrt{a - x^{2}} \\ x^{2} + y^{2} = 2 x + 4 y \end{matrix}\right.$
Данная система равносильна следующей совокупности условий с учетом области определения корня:
$\left\{\begin{matrix} a - y^{2} = a - x^{2} \\ x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y = 0 \\ a - x^{2} \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнения, выделив полные квадраты для окружности и упростив первое равенство:
$\left\{\begin{matrix} x^{2} = y^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) = 5 \\ x^{2} \leq a \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем условия для графического анализа:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} y = x \\ y = - x \end{matrix}\right. \\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 5 \\ |x| \leq \sqrt{a} \end{matrix}\right.$
Первое уравнение задает пару пересекающихся прямых, второе — окружность с центром в точке $(1; 2)$ и радиусом $\sqrt{5}$, а третье — вертикальную полосу ограничений по переменной $x$.

Проанализируем точки пересечения графиков. При $x = 0$ из уравнения окружности имеем:
$1 + (y - 2)^{2} = 5 \Rightarrow (y - 2)^{2} = 4$
$y - 2 = \pm 2$
То есть $y = 0$ или $y = 4$.
Если $y = 0$, то подставив в уравнение окружности, получим:
$(x - 1)^{2} + 4 = 5 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 1$
Откуда $x = 0$ либо $x = 2$.
Определим координаты общих точек прямой $y = -x$ и данной окружности:
$\left\{\begin{matrix} y = - x \\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(- x - 2\right)^{2} = 5 \end{matrix}\right.$
$x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + 4 x + 4 = 5$
$2 x^{2} + 2 x = 0$
Корни уравнения: $x = 0$ и $x = -1$.
Теперь найдем точки, где окружность пересекается с прямой $y = x$:
$\left\{\begin{matrix} y = x \\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right)^{2} = 5 \end{matrix}\right.$
$x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} - 4 x + 4 = 5$
$2 x^{2} - 6 x = 0$
$2 x (x - 3) = 0$
Получаем значения $x = 0$ и $x = 3$.
Таким образом, ключевыми точками пересечения (кроме начала координат) являются точки с абсциссами $x = -1$ и $x = 3$.
Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы граница полосы $\sqrt{a}$ находилась в диапазоне, отсекающем нужные участки графиков:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a} \geq |-1| \\ \sqrt{a} < 3 \end{matrix}\right.$
Следовательно:
$\left\{\begin{matrix} a \geq 1 \\ a < 9 \end{matrix}\right.$

Ответ: $[ 1 ; 9 )$

Источник: ФИПИ