Решение:
Исходное уравнение имеет вид: $\sqrt{2x - 1} \cdot \ln(4x - a) = \sqrt{2x - 1} \cdot \ln(5x + a)$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$\sqrt{2x - 1} \left(\ln(4x - a) - \ln(5x + a)\right) = 0$.
Данное уравнение равносильно совокупности при соблюдении условий области определения логарифмов и квадратного корня:
$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sqrt{2x - 1} = 0 \\ \ln(4x - a) = \ln(5x + a) \end{array} \right. \\ 2x - 1 \geq 0 \\ 4x - a > 0 \\ 5x + a > 0 \end{cases}$$ Упростим систему, перейдя к аргументам логарифмов:
$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ 4x - a = 5x + a \end{array} \right. \\ x \geq \frac{1}{2} \\ 4x > a \\ 5x > -a \end{cases}$$ Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) Исследуем корень $x = \frac{1}{2}$. Подставим его в ограничения системы:
$2 \cdot \frac{1}{2} - 1 \geq 0 \Rightarrow 0 \geq 0$ (верно);
$4 \cdot \frac{1}{2} - a > 0 \Rightarrow a < 2$;
$5 \cdot \frac{1}{2} + a > 0 \Rightarrow a > -2,5$.
Таким образом, значение $x = \frac{1}{2}$ является решением при $a \in (-2,5; 2)$.

Следовательно, корень $x = \frac{1}{2}$ существует, если параметр $a$ находится в интервале $\left(-\frac{5}{2}; 2\right)$.

2) Исследуем второй корень, который получается из уравнения $4x - a = 5x + a$, то есть $x = -2a$.
Для него должны выполняться следующие условия:
$2(-2a) - 1 \geq 0 \Rightarrow -4a \geq 1 \Rightarrow a \leq -\frac{1}{4}$;
$4(-2a) - a > 0 \Rightarrow -9a > 0 \Rightarrow a < 0$;
$5(-2a) + a > 0 \Rightarrow -9a > 0 \Rightarrow a < 0$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x = -2a$ является корнем при $a \leq -\frac{1}{4}$.

С учетом всех ограничений, корень $x = -2a$ актуален при $a \in (-\infty; -1/4]$. Однако, чтобы уравнение имело ровно один корень, нужно проанализировать их совпадение и области существования.
Проверим, когда корни совпадают:
$-2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.
При $a = -1/4$ значения $x$ идентичны. Нам необходимо найти значения $a$, при которых существует только один корень. Это происходит, когда либо один из корней не входит в ОДЗ, либо когда они совпадают.

Ответ: $\left(- \frac{5}{2} ; - \frac{1}{2}\right) \cup [ - \frac{1}{4} ; 2 )$

Источник: ФИПИ